Suma i różnica zmiennych losowych (artykuł)

Wpływ na średnią, odchylenie standardowe i wariancję

Łączenie zmiennych losowych umożliwia nam tworzenie nowych rozkładów. Jeśli znamy średnie i odchylenia standardowe początkowych rozkładów, możemy użyć tych informacji do znalezienia średniej i odchylenia standardowego rozkładu wynikowego.

Możemy połączyć średnie bezpośrednio, ale nie możemy tego samego zrobić z odchyleniami standardowymi. Możemy jednak połączyć wariancje tak długo jak prawdziwe jest założenie, że są to wariancje niezależne od siebie.

	Średnia	Wariancja
Dodawanie: $T = X + Y$ ‍	$μ_{T} = μ_{X} + μ_{Y}$ ‍	$σ_{T}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍
Odejmowanie: $D = X - Y$ ‍	$μ_{D} = μ_{X} - μ_{Y}$ ‍	$σ_{D}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍

Kilka istotnych faktów na temat łączenia wariancji:

Zanim połączysz wariancje, upewnij się, że zmienne są od siebie niezależne, lub że założenie o niezależności jest uzasadnione.
Nawet jeśli odejmujemy od siebie dwie zmienne losowe, ich wariancje należy dodać; odejmowanie dwóch zmiennych zwiększa całkowitą zmienność wyników.
Odchylenie standardowe połączonych rozkładów możemy znaleźć wyciągając pierwiastek kwadratowy z połączonych wariancji.

Przykład 1: Określanie niezależności

Łączenie wariancji dwóch zmiennych losowych wymaga sprawdzenia ich niezależności lub uzasadnionego założenia, że dwie zmienne są niezależne.

PYTANIE A (Przykład 1)

Dla których par zmiennych uzasadnione jest założenie, że są one niezależne?

(Choice A)
$T$ ‍: Wiek losowo wybranego nauczyciela w szkole
$S$ ‍: Wiek losowo wybranego ucznia w szkole
(Choice B)
$S$ ‍: Ile godzin spała wczoraj losowo wybrana osoba
$A$ ‍: Przez ile godzin ta sama osoba była obudzona
(Choice C)
$I$ ‍: Roczny dochód losowo wybranej osoby
$C$ ‍: Ile pieniędzy ta losowo wybrana osoba wydała w ostatnim roku na odzież

Przykład 2: Wyniki maturalne

Do egzaminu maturalnego przystąpiło w 2015 roku około 276,5 tys. osób. Każda z nich otrzymała wynik z matematyki i języka polskiego.

Oto statystyki podsumowujące każdą z tych części w 2015:

Część	Średnia	Odchylenie standardowe
Język polski	$μ_{J P} = 66$ ‍	$σ_{J P} = 16$ ‍
Matematyka	$μ_{M} = 55$ ‍	$σ_{M} = 26$ ‍
Łącznie	$μ_{T} = ?$ ‍	$σ_{T} = ?$ ‍

Załóżmy, że z tej populacji wybieramy losowo jednego ucznia.

Pytanie A (Przykład 2)

Jaka jest średnia sumy wyników uczniów z języka polskiego i matematyki?

Pytanie B (Przykład 2)

Jakie jest odchylenie standardowe sumy wyników maturalnych z języka polskiego i matematyki?

Przykład 3: Inspekcja przedmiotów

Każda sztuka pewnego przedmiotu produkowanego w fabryce jest sprawdzana przez

4

pracowników. Czas potrzebny każdemu pracownikowi na sprawdzenie przedmiotu ma średnią

30

sekund i odchylenie standardowe

6

sekund. Co więcej, czas sprawdzania przez danego pracownika nie zależy od czasu sprawdzania przedmiotu przez innych pracowników.

Niech

T

oznacza całkowity czas, jaki zajmuje

4

pracownikom sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu.

Pytanie A (Przykład 3)

Jaki jest całkowity średni czas potrzebny $4$ ‍ pracownikom na sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu?

Pytanie B (Przykład 3)

Jakie jest odchylenie standardowe całkowitego czasu, jaki zajmuje $4$ ‍ pracownikom sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu?

Przykład 4: Różnica wzrostu

Socjolog zbadał dużą próbę osób zatrudnionych przez wojsko i przyjrzał się wzrostom mężczyzn i kobiet w tej próbie. Statystyki podsumowujące wzrosty tych ludzi są przedstawione poniżej.

Załóżmy, że wybieramy losowego mężczyznę i losową kobietę z próby i sprawdzamy różnicę ich wzrostów. Niech

M

oznacza wzrost mężczyzny, a

K

oznacza wzrost kobiety, natomiast

R

oznacza różnicę między ich wzrostami

(R = M - K)

	Średnia	Odchylenie standardowe
Mężczyzna	$μ_{M} = 178 cm$ ‍	$σ_{M} = 7 cm$ ‍
Kobieta	$μ_{K} = 164 cm$ ‍	$σ_{K} = 6 cm$ ‍
Różnica	$μ_{R} = ?$ ‍	$σ_{R} = ?$ ‍

Pytanie A (Przykład 4)

Jaka jest średnia z różnicy między dwoma wzrostami?

Pytanie B (Przykład 4)

Jakie jest odchylenie standardowe różnicy między dwoma wzrostami?

Statystyka i prawdopodobieństwo

Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 9

Suma i różnica zmiennych losowych

Wpływ na średnią, odchylenie standardowe i wariancję

Przykład 1: Określanie niezależności

Przykład 2: Wyniki maturalne

Przykład 3: Inspekcja przedmiotów

Przykład 4: Różnica wzrostu

Chcesz dołączyć do dyskusji?