Główna zawartość
Statystyka i prawdopodobieństwo
Kurs: Statystyka i prawdopodobieństwo > Rozdział 9
Lekcja 4: Suma i różnica zmiennych losowych- Suma i różnica zmiennych losowych
- Suma i różnica zmiennych losowych
- Rozkłady zmiennych losowych będących sumami lub różnicami zmiennych losowych o rozkładach normalnych
- Rozkłady zmiennych losowych będących sumami lub różnicami zmiennych losowych o rozkładach normalnych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Suma i różnica zmiennych losowych
Wpływ na średnią, odchylenie standardowe i wariancję
Łączenie zmiennych losowych umożliwia nam tworzenie nowych rozkładów. Jeśli znamy średnie i odchylenia standardowe początkowych rozkładów, możemy użyć tych informacji do znalezienia średniej i odchylenia standardowego rozkładu wynikowego.
Możemy połączyć średnie bezpośrednio, ale nie możemy tego samego zrobić z odchyleniami standardowymi. Możemy jednak połączyć wariancje tak długo jak prawdziwe jest założenie, że są to wariancje niezależne od siebie.
| Średnia | Wariancja | |
|---|---|---|
| Dodawanie: T, equals, X, plus, Y | mu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
| Odejmowanie: D, equals, X, minus, Y | mu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
Kilka istotnych faktów na temat łączenia wariancji:
- Zanim połączysz wariancje, upewnij się, że zmienne są od siebie niezależne, lub że założenie o niezależności jest uzasadnione.
- Nawet jeśli odejmujemy od siebie dwie zmienne losowe, ich wariancje należy dodać; odejmowanie dwóch zmiennych zwiększa całkowitą zmienność wyników.
- Odchylenie standardowe połączonych rozkładów możemy znaleźć wyciągając pierwiastek kwadratowy z połączonych wariancji.
Przykład 1: Określanie niezależności
Łączenie wariancji dwóch zmiennych losowych wymaga sprawdzenia ich niezależności lub uzasadnionego założenia, że dwie zmienne są niezależne.
Przykład 2: Wyniki maturalne
Do egzaminu maturalnego przystąpiło w 2015 roku około 276,5 tys. osób. Każda z nich otrzymała wynik z matematyki i języka polskiego.
Oto statystyki podsumowujące każdą z tych części w 2015:
| Część | Średnia | Odchylenie standardowe |
|---|---|---|
| Język polski | mu, start subscript, J, P, end subscript, equals, 66 | sigma, start subscript, J, P, end subscript, equals, 16 |
| Matematyka | mu, start subscript, M, end subscript, equals, 55 | sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 26 |
| Łącznie | mu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
Załóżmy, że z tej populacji wybieramy losowo jednego ucznia.
Przykład 3: Inspekcja przedmiotów
Każda sztuka pewnego przedmiotu produkowanego w fabryce jest sprawdzana przez 4 pracowników. Czas potrzebny każdemu pracownikowi na sprawdzenie przedmiotu ma średnią 30 sekund i odchylenie standardowe 6 sekund. Co więcej, czas sprawdzania przez danego pracownika nie zależy od czasu sprawdzania przedmiotu przez innych pracowników.
Niech T oznacza całkowity czas, jaki zajmuje 4 pracownikom sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu.
Przykład 4: Różnica wzrostu
Socjolog zbadał dużą próbę osób zatrudnionych przez wojsko i przyjrzał się wzrostom mężczyzn i kobiet w tej próbie. Statystyki podsumowujące wzrosty tych ludzi są przedstawione poniżej.
Załóżmy, że wybieramy losowego mężczyznę i losową kobietę z próby i sprawdzamy różnicę ich wzrostów. Niech M oznacza wzrost mężczyzny, a K oznacza wzrost kobiety, natomiast R oznacza różnicę między ich wzrostami left parenthesis, R, equals, M, minus, K, right parenthesis.
| Średnia | Odchylenie standardowe | |
|---|---|---|
| Mężczyzna | mu, start subscript, M, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text |
| Kobieta | mu, start subscript, K, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, K, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text |
| Różnica | mu, start subscript, R, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, R, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji