If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Suma i różnica zmiennych losowych

Wpływ na średnią, odchylenie standardowe i wariancję

Łączenie zmiennych losowych umożliwia nam tworzenie nowych rozkładów. Jeśli znamy średnie i odchylenia standardowe początkowych rozkładów, możemy użyć tych informacji do znalezienia średniej i odchylenia standardowego rozkładu wynikowego.
Możemy połączyć średnie bezpośrednio, ale nie możemy tego samego zrobić z odchyleniami standardowymi. Możemy jednak połączyć wariancje tak długo jak prawdziwe jest założenie, że są to wariancje niezależne od siebie.
ŚredniaWariancja
Dodawanie: T, equals, X, plus, Ymu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Odejmowanie: D, equals, X, minus, Ymu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Kilka istotnych faktów na temat łączenia wariancji:
  • Zanim połączysz wariancje, upewnij się, że zmienne są od siebie niezależne, lub że założenie o niezależności jest uzasadnione.
  • Nawet jeśli odejmujemy od siebie dwie zmienne losowe, ich wariancje należy dodać; odejmowanie dwóch zmiennych zwiększa całkowitą zmienność wyników.
  • Odchylenie standardowe połączonych rozkładów możemy znaleźć wyciągając pierwiastek kwadratowy z połączonych wariancji.

Przykład 1: Określanie niezależności

Łączenie wariancji dwóch zmiennych losowych wymaga sprawdzenia ich niezależności lub uzasadnionego założenia, że dwie zmienne są niezależne.
PYTANIE A (Przykład 1)
Dla których par zmiennych uzasadnione jest założenie, że są one niezależne?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Przykład 2: Wyniki maturalne

Do egzaminu maturalnego przystąpiło w 2015 roku około 276,5 tys. osób. Każda z nich otrzymała wynik z matematyki i języka polskiego.
Oto statystyki podsumowujące każdą z tych części w 2015:
CzęśćŚredniaOdchylenie standardowe
Język polskimu, start subscript, J, P, end subscript, equals, 66sigma, start subscript, J, P, end subscript, equals, 16
Matematykamu, start subscript, M, end subscript, equals, 55sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 26
Łączniemu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Załóżmy, że z tej populacji wybieramy losowo jednego ucznia.
Pytanie A (Przykład 2)
Jaka jest średnia sumy wyników uczniów z języka polskiego i matematyki?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Pytanie B (Przykład 2)
Jakie jest odchylenie standardowe sumy wyników maturalnych z języka polskiego i matematyki?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykład 3: Inspekcja przedmiotów

Każda sztuka pewnego przedmiotu produkowanego w fabryce jest sprawdzana przez 4 pracowników. Czas potrzebny każdemu pracownikowi na sprawdzenie przedmiotu ma średnią 30 sekund i odchylenie standardowe 6 sekund. Co więcej, czas sprawdzania przez danego pracownika nie zależy od czasu sprawdzania przedmiotu przez innych pracowników.
Niech T oznacza całkowity czas, jaki zajmuje 4 pracownikom sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu.
Pytanie A (Przykład 3)
Jaki jest całkowity średni czas potrzebny 4 pracownikom na sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Pytanie B (Przykład 3)
Jakie jest odchylenie standardowe całkowitego czasu, jaki zajmuje 4 pracownikom sprawdzenie losowo wybranego przedmiotu?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykład 4: Różnica wzrostu

Socjolog zbadał dużą próbę osób zatrudnionych przez wojsko i przyjrzał się wzrostom mężczyzn i kobiet w tej próbie. Statystyki podsumowujące wzrosty tych ludzi są przedstawione poniżej.
Załóżmy, że wybieramy losowego mężczyznę i losową kobietę z próby i sprawdzamy różnicę ich wzrostów. Niech M oznacza wzrost mężczyzny, a K oznacza wzrost kobiety, natomiast R oznacza różnicę między ich wzrostami left parenthesis, R, equals, M, minus, K, right parenthesis.
ŚredniaOdchylenie standardowe
Mężczyznamu, start subscript, M, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end textsigma, start subscript, M, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text
Kobietamu, start subscript, K, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end textsigma, start subscript, K, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text
Różnicamu, start subscript, R, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, R, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Pytanie A (Przykład 4)
Jaka jest średnia z różnicy między dwoma wzrostami?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Pytanie B (Przykład 4)
Jakie jest odchylenie standardowe różnicy między dwoma wzrostami?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: