If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:8:31

Transkrypcja filmu video

W poprzedniej prezentacji próbowaliśmy aproksymować pole powierzchni pod wykresem konstruując cztery prostokąty o równej szerokości i używając lewego brzegu każdego z tych prostokątów, wartości funkcji branej dla punktu z lewego brzegu prostokąta ażeby ustalić wysokość, i otrzymaliśmy w ten sposób aproksymację. W tym filmie chcemy te rzeczy nieco uogólnić używając dokładnie tej samej metody, ale dla dowolnej funkcji o dowolnych granicach oraz dowolnej liczby prostokątów. A więc do dzieła. A więc narysuję wykres na tyle duży, ażeby wszystko było możliwie dobrze widoczne i jasne. To jest zatem moja oś y. A ta tutaj to moja oś x. Narysuję teraz dowolną funkcję. Powiedzmy, że wygląda ona jakoś tak. Zatem to jest y równe f(x). Niech teraz zdefiniuję moje granice. Ustalmy, że to tutaj to będzie x równe a. A to tutaj x równe b. Więc to jest b. I zamierzam użyć n prostokątów, oraz wartości funkcji obliczonych w punkcie lewego brzegu prostokąta, aby określić jego wysokość. Więc, dla przykładu, niech to będzie prostokąt nr 1. Zobaczę ile to jest f(a). Więc tutaj mamy dokładnie f(a). I tego właśnie użyję jako wysokości pierwszego z moich prostokątów. A więc dokładnie w ten sposób. Więc prostokąt nr 1 wygląda tak. I nawet go ponumeruję. Prostokąt nr 1 wygląda dokładnie w ten sposób. I teraz, żeby wprowadzić w tym miejscu pewną konwencję, bowiem będę chciał odnosić się do tych wartości x z lewych krańców, więc oznaczmy a przez x0. a jest równe x0. Więc możemy oznaczyć ten punkt tutaj x0, tę wartość x. Także przechodzimy do następnego prostokąta. I możemy nazwać tę tutaj wartość x , nazwiemy ją x1. To jest lewy brzeg następnego prostokąta. Jeśli obliczymy wartość f (x1) dostaniemy tę dokładnie wartość. Ta tutaj to jest f(x1) zatem wskazuje nam naszą wysokość. I chcemy aby szerokość była taka jak poprzedniego. Pomyślimy o tym jaka powinna być szerokość za sekundę. A więc ten tutaj to nasz drugi prostokąt, którego użyjemy dla przybliżenia pola powierzchni pod wykresem. To jest prostokąt nr 2, Zajmijmy się prostokątem nr 3. Cóż, prostokąt nr 3, lewy brzeg, nazwijmy tę wartość x x z indeksem 2. I jego wysokość wyniesie f od x z indeksem 2. A jego szerokość będzie taka sama jak szerokość pozostałych. Przyglądam się teraz właśnie jemu. A więc to jest prostokąt nr 3. I tak kontynuujemy ten proces aż dochodzimy do prostokąt o numerze n. A więc niech to będzie n-ty prostokąt dokładnie tutaj , n-ty prostokąt. I jak nazwę ten punkt tutaj? Cóż, dostrzegamy już oczywiście wzór. Lewy graniczny punkt pierwszego prostokąta to x0. Lewy graniczny punkt na osi x drugiego prostokąta to x z indeksem 1. Lewy graniczny punkt na osi x trzeciego prostokąta to x z indeksem 2. Zatem lewy graniczny punkt na osi x n-tego prostokąta to będzie x z indeksem n-1. Jakakolwiek nie byłaby liczna prostokątów, lewa granica wynosi x z indeksem ta liczba minus 1. Powyższe opiera się po prostu na konwencji, którą zdefiniowaliśmy. Teraz, kolejną rzeczą, którą musimy zrobić w kolejności aby rzeczywiście policzyć to pole to zastanowić się, jaka jest szerokość? Oznaczmy zatem szerokość któregokolwiek z tych prostokątów-- i dla tych celów, czy też dla celu tego przykładu, założę, że jest ona stała, jakkolwiek można liczyć te sumy kiedy różnicujemy szerokość prostokątów. Wtedy jednak wszystko robi się odrobinę bardziej interesujące. Stąd ja chcę mieć stałą szerokość. A więc niech delta x oznacza szerokość. Ażeby dostać ile to musi być, musimy zastanowić się, ile wynosi łączna szerokość, którą przemierzamy? Cóż, łączna odległość tutaj wynosi b minus a, i będziemy ją dzielić przez liczbę prostokątów jakiej zażądaliśmy, liczbę części jakiej zażądaliśmy. Zatem chcemy dzielić przez n. A więc jeśli tak założymy i dalej przyjmiemy, że a jest równe x0, wtedy x1 jest równe x0 plus delta x, x2 jest równe x1 plus delta x, i tak aż do xn, które jest równe xn minus 1 plus delta x, w tej chwili zasadniczo opisaliśmy ten wykres tutaj. b tak naprawdę bedzie równe xn. Tak więc to jest xn. I jest równe xn minus 1 plus delta x. Myślę, że wprowadziliśmy tym samym kompletną notację i wszystkie konwencje aby ostatecznie móc obliczyć pole powierzchni, tudzież przybliżyć je. Tak więc nasze oszacowanie, nasze przybliżone pole będzie równe czemu? Cóż, będzie to pole pierwszego prostokąta- niech to zapiszę. A więc to będzie prostokąt nr 1--zatem pole prostokąta nr 1--a więc prostokąt nr 1 plus pole prostokąta nr 2 plus pole prostokąta nr 3--myślę, że pojmujecie-- plus... aż do pola powierzchni prostokąta n-tego. Zatem co to będzie? Prostokąt nr 1 będzie swoją wysokością, która wynosi f(x0) lub f(a). jakkolwiek. x0 i a są bowiem tym samym. Więc mamy f(a) razy delta x, razy nasza szerokość, nasza wysokość razy nasza szerokość. Zatem razy delta-- właściwie mogę zapisać jako f(x0), Chciałam zapisać -- f(x0) razy delta x. Jaka jest wysokość naszego prostokąta nr 2? To f(x1) razy delta x. Ile wynosi nasze pole powierzchni prostokąta nr 3? To będzie tym razem f(x2) razy delta x. I tak dochodzimy do naszego obszaru (jego pola). Sumujemy pola wszystkich prostokątów aż do n-tego. Jakie jest zatem jego pole? To f(xn-1). Właściwie, to jest inny odcień pomarańczowego. Użyję tego samego odcienia. To jest f(xn-1) razy delta x. Czyli mamy to. Napisaliśmy to bardzo ogólnie. Ale żebyśmy naprawdę oswoili się z różnoraką notacją, w szczególności notacją, z którą możecie się zetknąć, kiedy ludzie mówią o przyblirzaniu obszarów czy sum w ogólności, będę używał tradycyjnej notacji angażującej sigma. Zatem inaczej moglibyśmy to zapisać jako sumę, to jest równe sumie od--i pamiętajcie, to ma oparcie w konwencji, którą wprowadziłem. Niech i zlicza prostokąty od i równego 1 do n. Następnie patrzymy na każdy prostokąt z osobna. A więc pierwszy prostokąt to prostokąt nr 1. A więc to będzie f od -- cóż, jeśli jesteśmy przy i-tym prostokącie, to lewa granica wyniesie z z indeksem i minus 1 razy delta x. I tutaj właśnie, mamy do czynienia z klasycznym sposobem rozumowania przy aproksymacji obszaru ograniczonego krzywą z użyciem prostokatów, gdzie wysokości prostokatów są zdefiniowane przez lewe granice. To mówi nam, że chodzi o lewe granice. I obserwujemy dla każdego, niech to będzie i-ty prostokąt ten tutaj, jeśli to jest prostokąt nr i, wtedy tu mamy x z indeksem i-1, a ta wysokość to f(xi-1). A więc to jest wszystko co zrobiliśmy tam razy delta x. I następnie sumujecie od pierwszego prostokąta aż do samego końca. Miejmy nadzieję, że powyższe pozwoliło wam poczuć się pewniej z wprowadzoną notacją. Nie robimy niczego inaczej niż w wiadomym pierwszym filmie, co miejmy nadzieję, było dla was od początku oczywiste. Jedyne co, to dokonaliśmy pewnego uogólnienia z użyciem odrobinę bardziej matematycznej notacji.