If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:3:32

Dowód wzoru na sumę skończonego szeregu arytmetycznego - film z polskimi napisami

Transkrypcja filmu video

W ostatnim wideo dowiedliśmy, że suma wszystkich dodatnich liczb całkowitych, aż do n włącznie może być wyrażona jako n(n+1)/2 i dowiedliśmy tego przez indukcję. W tym wideo chciałbym pokazać, że istnieje prostszy dowód ale nie jest on przez indukcję, Więc nie dołączałem go do tamtego wideo, ale pokażę Wam, że on istnieje. żebyście wiedzieli, że indukcja nie jest jedynym sposobem, żeby to udowodnić. Więc definiuję, że funkcja s(n) jest sumą wszystkich dodatnich liczb całkowitych aż do n włącznie więc jest równa z definicji 1+2+3 aż do +(n-1) + n więc są to wszystkie liczby całkowite aż do n włącznie, tak to zdefiniowaliśmy. Możemy przepisać to znowu, Możemy napisać, że suma S(n); możemy napisać tą samą rzecz, ale napisać ją w innej kolejności. Może powiedzieć, że to jest to samo co n + (n-1) + (n-2) + aż do + 2 + 1 Co nam to właściwie daje? Możemy dodać te dwa wiersze, jeśli dodamy S(n) + S(n) to dostaniemy dwa razy tę sumę, więc po prostu dodajemy po lewej i możemt też dodać po prawej, więc tak naprawdę dostajemy tę sumę dwa razy i interesujące jest w jaki sposób to dodamy. Dodamy to wyrażenie do tego, to do tego. Po prosty próbujemy dodać do siebie te dwie rzeczy, i możemy wybrać jaki sposób chcemy, żeby to zrobić. Więc 1 + n będzie (n+1) A następnie dodamy 2 + (n-1) i co to jest? Pozwólcie, że napiszę tutaj, 2 + (n-1) to to samo co 2 + n - 1, czyli to samo co n + 1 Więc to też będzie n+1. A to wyrażenie tutaj 3 + n - 2 albo n - 2 +3 To znowu będzie n+1. I będziemy to robić dla każdego wyrażenia aż dojdziemy tutaj n - 1 + 2; To też będzie n+1 i w końcu mamy tutaj n+1. Więc ile będzie wynosić cała ta suma? Ile mamy tych n+1? Cóż, mamy ich n, dla każdego składnika w każdej z tych sum. Więc mamy 1,2,3 aż do n. Mamy n tych n+1. Więc jeśli dodajesz coś do siebie n razy, to jest dokładnie odpowiednik dla n razy n+1 Więc 2 razy suma wszystkich dodatnich liczb całkowitych aż do n włącznie będzie równa n (n+1). Więc jeśli podzielimy obie strony przez 2, dostaniemy wyrażenie dla sumy. Więc suma wszystkich liczb całkowitych będzie równa n(n+1) przez 2. Więc to jest dowód, w którym nie musimy używać indukcji, to jest naprawdę czysty algebraicznie dowód.