Główna zawartość

Kurs: Fizyka - 11 klasa (Indie) > Rozdział 4

Lekcja 13: Reguła łańcuchowa, czyli wzór na pochodną funkcji złożonej

Reguła łańcuchowa, czyli wzór na pochodną funkcji złożonej

Wzór na pochodną funkcji złożonej pozwala nam obliczać pochodną złożenia funkcji. Przypomnij sobie wiedzę na temat różniczkowania funkcji złożonej i sprawdź, czy umiesz prawidłowo stosować odpowiedni wzór. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Wzór na pochodną funkcji złożonej (reguła łańcuchowa) mówi, że:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Innymi słowy, mówi nam jak różniczkować funkcję złożoną.

Szybkie przypomnienie, co to są funkcje złożone

O funkcji mówimy, że jest złożona jeśli można ją zapisać w postaci

f (g (x))

. Innymi słowy, jeśli jest to funkcja w funkcji, albo funkcja od funkcji.

Na przykład, funkcja

\cos (x^{2})

jest funkcją złożoną, ponieważ jeśli zdefiniujemy

f (x) = \cos (x)

oraz

g (x) = x^{2}

, to możemy przedstawić

\cos (x^{2}) = f (g (x))

Funkcja

g

jest funkcją wewnątrz funkcji

f

, dlatego mówimy, że

g

jest funkcją "wewnętrzną", a

f

jest funkcją "zewnętrzną".

\underset{f. zewnętrzna}{\underset{⏟}{\cos (\overset{f. wewnętrzna}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

Natomiast funkcja

\cos (x) \cdot x^{2}

nie jest funkcją złożoną, ponieważ jest to iloczyn dwóch funkcji,

f (x) = \cos (x)

oraz

g (x) = x^{2}

, ale żadna z nich nie działa wewnątrz drugiej.

zadanie 1

Czy $g (x) = \ln (\sin (x))$ ‍ jest funkcją złożoną? Jeśli tak, określ funkcję "wewnętrzną" i funkcję "zewnętrzną"?

(Choice A)
$g$ ‍ jest funkcją złożoną. Funkcja "wewnętrzna" to $\ln (x)$ ‍, a funkcja "zewnętrzna" to $\sin (x)$ ‍.
(Choice B)
$g$ ‍ jest funkcją złożoną. Funkcja "wewnętrzna" to $\sin (x)$ ‍, a funkcja "zewnętrzna" to $\ln (x)$ ‍.
(Choice C)
$g$ ‍ nie jest funkcją złożoną.

Często popełniany błąd: nieumiejętne rozpoznanie, czy funkcja jest funkcją złożoną, czy nie

W większości przypadków zastosowanie wzoru na pochodną funkcji złożonej jest jedyną metodą obliczenia pochodnej funkcji, która jest funkcją złożoną. Jeśli nie potrafimy rozpoznać, że funkcja jest funkcją złożoną i że do obliczenia jej pochodnej trzeba zastosować regułę łańcuchową, wynik, jaki otrzymamy, będzie błędny.

Z drugiej strony, próba zastosowania reguły łańcuchowej do obliczenia pochodnej funkcji, która nie jest funkcją złożoną również prowadzi do błędu.

Szczególnie w przypadku funkcji trygonometrycznych i logarytmicznych uczniowie często mylą złożenie funkcji, na przykład

\ln (\sin (x))

, z iloczynem funkcji, na przykład

\ln (x) \sin (x)

Zadanie 2

Czy $h (x) = \cos^{2} (x)$ ‍ jest funkcją złożoną? Jeśli tak, określ funkcję "wewnętrzną" i funkcję "zewnętrzną"?

(Choice A)
$h$ ‍ jest funkcją złożoną. Funkcja "wewnętrzna" to $\cos (x)$ ‍, a funkcja "zewnętrzna" to $x^{2}$ ‍.
(Choice B)
$h$ ‍ jest funkcją złożoną. Funkcja "wewnętrzna" to $x^{2}$ ‍, a funkcja "zewnętrzna" to $\cos (x)$ ‍.
(Choice C)
$h$ ‍ nie jest funkcją złożoną.

Chcesz poćwiczyć? Zajrzyj tutaj.

Często popełniany błąd: błędna identyfikacja funkcji wewnętrznej i zewnętrznej

Nawet gdy uczniowie umieją prawidłowo rozpoznawać funkcje złożone, mogą nadal mieć problemy z prawidłową identyfikacją funkcji wewnętrznej i zewnętrznej. Taki błąd skutkuje nieprawidłowym obliczeniem pochodnej.

Na przykład, w przypadku funkcji złożonej

\cos^{2} (x)

, funkcją zewnętrzną jest funkcja

x^{2}

, a funkcją wewnętrzną jest funkcja

\cos (x)

. Uczniom dość często to się myli i uważają, że funkcją zewnętrzną w tym przykładzie jest

\cos (x)

Przykład zastosowania wzoru na pochodną funkcji złożonej w praktyce

Zobaczmy, jak można zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej do obliczenia pochodnej funkcji

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

. Zauważ, że

h

jest funkcją złożoną:

\begin{aligned} h (x) & = \underset{f. zewnętrzna}{\underset{⏟}{(\overset{f. wewnętrzna}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} \\ g (x) & = 5 - 6 x & funkcja wewnętrzna \\ f (x) & = x^{5} & funkcja zewnętrzna \end{aligned}

Skoro

h

jest funkcją złożoną, możemy skorzystać ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych (reguły łańcuchowej):

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Wyrażając ten wzór słowami, powiemy że pochodna funkcji złożonej równa się pochodnej funkcji zewnętrznej

f^{'}

dla wartości argumentu, równej

g

, razy pochodna funkcji wewnętrznej

g^{'}

Przed zastosowaniem reguły łańcuchowej obliczcie sami pochodną funkcji zewnętrznej i funkcji wewnętrznej.

\begin{aligned} g^{'} (x) & = - 6 \\ f^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Teraz możemy zastosować regułę łąńcuchową:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [f (g (x))] \\ = & f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \cdot - 6 \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

Poćwicz zastosowanie reguły łańcuchowej

Zadanie 3.A

W zadaniu 3 przejdziesz wszystkie kroki konieczne do obliczenia pochodnej funkcji

\sin (2 x^{3} - 4 x)

Określ funkcję wewnętrzną i zewnętrzną w przypadku funkcji $\sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍?

(Choice A)
Funkcją wewnętrzną jest $\sin (x)$ ‍, a funkcją zewnętrzną jest $2 x^{3} - 4 x$ ‍.
(Choice B)
Funkcją wewnętrzną jest $2 x^{3} - 4 x$ ‍, a funkcją zewnętrzną jest $\sin (x)$ ‍.
(Choice C)
Funkcją wewnętrzną jest $2 x^{3}$ ‍, a funkcją zewnętrzną jest $- 4 x$ ‍.
(Choice D)
Funkcją wewnętrzną jest $- 4 x$ ‍, a funkcją zewnętrzną jest $2 x^{3}$ ‍.

Zadanie 4

\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos (x)}] = ?

Chcesz poćwiczyć? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zadanie 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

Chcesz rozwiązać więcej przykładów? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zadanie 6

Kasia próbowała policzyć pochodną

(2 x^{2} - 4)^{3}

. Jej rozwiązanie wygląda następująco:

Krok 1: Niech

f (x) = x^{3}

g (x) = 2 x^{2} - 4

, a zatem

(2 x^{2} - 4)^{3} = f (g (x))

Krok 2:

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Krok 3: Pochodna wynosi

f^{'} (g (x))

\frac{d}{d x} [(2 x^{2} - 4)^{3}] = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

Czy Kasia policzyła dobrze? A jeśli nie, to na czym polega jej błąd?

(Choice A)
Rozwiązanie Kasi jest prawidłowe.
(Choice B)
Kasia zrobiła błąd w 1 kroku. $(2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ równa się $g (f (x))$ ‍, a nie $f (g (x))$ ‍.
(Choice C)
Kasia zrobiła błąd w 2 kroku. Pochodna $f$ ‍ nie jest równa $3 x^{2}$ ‍.
(Choice D)
Kasia zrobiła błąd w 3 kroku. Pochodna funkcji złożonej nie równa się $f^{'} (g (x))$ ‍.

Często spotykany błąd: zapominanie o pomnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej

Typowy błąd, jaki często popełniają uczniowie, polega na zróżniczkowaniu wyłącznie funkcji zewnętrznej i zapisaniu wyniku w postaci

f^{'} (g (x))

, podczas gdy poprawny wzór ma postać

f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Inny często popełniany błąd: obliczanie $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍

Innym częstym błędem jest obliczenie pochodnej

f (g (x))

jako złożenia pochodnych, czyli

f^{'} (g^{'} (x))

Ten wzór jest także nieprawidłowy. Argumentem

f^{'} (x)

powinna być funkcja

g (x)

, a nie jej pochodna

g^{'} (x)

Zapamiętaj: Pochodna $f (g (x))$ ‍ wynosi $f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$ ‍. Nie $f^{'} (g (x))$ ‍ i nie $f^{'} (g^{'} (x))$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Fizyka - 11 klasa (Indie)