Czynniki całkujące, cz. 1 - film z polskimi napisami

Mnóstwo z tego, czego nauczysz się przy równaniach różniczkowych to po prostu różne tricki. I w tym filmiku pokażę Ci jeden z takich tricków. Jest on przydatny także poza tym. Ponieważ, zawsze jest dobrze; jeśli pewnego dnia zostaniesz być może matematykiem lub fizykiem i będziesz miał problem do rozwiązania. Niektóre z tych tricków, które pozwalały rozwiązać prostsze zadania podczas Twojej edukacji, mogą przydać się do rozwiązania nierozwiązanych dotąd problemów. Dobrze jest więc je zobaczyć. I jeżeli robisz równania różniczkowe, może to być na egzaminie. Warto więc się tego nauczyć. Nauczymy się o czynnikach całkujących. Powiedzmy, że mamy równanie w takiej postaci. Niech to będzie moje równanie różniczkowe. 3xy -- Próbuję napisać to tak porządnie jak się da -- dodać y kwadrat, dodać x kwadrat, dodać xy, razy y prim, równa się 0. Więc - zwłaszcza że mówiliśmy o tym w poprzednich filmach - kiedykolwiek widzisz równanie w takiej postaci, gdzie masz jakąś funkcję od x, y oraz masz inną funkcję od x i y, razy y prim, równa się 0, mówisz: oh, to wygląda jakby mogło być równaniem różniczkowym zupełnym. I jak to sprawdzamy? Możemy wziąć pochodną cząstkową tego względem y i możemy nazwać to funkcją od x i y, M. Pochodną cząstkową M względem y jest 3x dodać 2y. I jeżeli ta funkcja o tu, to wyrażenie - to jest nasza funkcja N, która jest funkcją od x i y. Bierzemy pochodną cząstkową względem x i dostajemy 2x dodać y. Aby to mogło być równaniem różniczkowym zupełnym, pochodna cząstkowa tego względem y musiałaby równać się pochodnej cząstkowej tego względem x. Ale widzimy, wystarczy spojrzeć, że one nie równają się sobie. Nie są sobie równe. Więc, przynajmniej powierzchownie, tak jak na to spojrzeliśmy, to nie jest równanie różniczkowe zupełne. Ale co jeśli byłby jakiś czynnik, albo być może jakaś funkcja, taka że moglibyśmy pomnożyć obie strony tego równania przez nią i otrzymalibyśmy równanie różniczkowe zupełne? Nazwijmy to mi. Co chcę zrobić? Chcę pomnożyć obie strony tego równania przez jakąś funkcję mi i zobaczyć czy jestem w stanie znaleźć taką funkcję mi, która uczyni to równanie zupełnym. Spróbujmy to zrobić. Pomnóżmy obie strony przez mi. Jako ułatwienie - mi może być funkcją od x i y. Może być funkcją od x. Może być funkcją jedynie od x. Może być funkcją jedynie od y. Założę, że jest to funkcja jedynie od x. Mógłbyś założyć, że jest to funkcja jedynie od y i spróbować to rozwiązać. Albo mógłbyś założyć, że jest to funkcja od x i y. Jeśli założysz, że jest to funkcja od x i y, staje się ona znacznie trudniejsza do znalezienia. Ale to nie oznacza, że jej nie ma. Powiedzmy, że mi jest funkcją od x. Chcę pomnożyć to przez oba te równania. Dostaję: mi od x razy 3xy, dodać y kwadrat, dodać mi od x, dodać x kwadrat, dodać xy, razy y prim. I następnie, co to 0 razy jakakolwiek funkcja? To będzie po prostu 0, racja? 0 razy mi od x będzie po prostu 0. Ale pomnożyłem prawą stronę przez mi od x Pamiętaj co robimy. To jest mi od x-- gdy pomnożymy celem jest-- po pomnożeniu obu stron równania przez nie powinniśmy dostać równanie zupełne. Jeśli przyjmiemy to wszystko jako nasze nowe M, to pochodna cząstkowa tego względem y powinna być równa pochodnej cząstkowej tego względem x. Jaka jest więc pochodna cząstkowa tego względem y? Jeżeli bierzemy pochodną cząstkową względem y, mi od x, które jest funkcją jedynie od x, nie jest funkcją od y, jest jedynie stałą, racja? Bierzemy pochodną cząstkową względem y. x jest jedynie stałą lub funkcją, na którą możemy patrzeć jak na stałą. Pochodna cząstkowa tego względem y równa się: mi od x, razy 3x dodać 2y. To jest pochodna cząstkowa tego względem y. A jaka jest pochodna cząstkowa tego względem x? Tutaj użyjemy wzoru na pochodną iloczynu. Bierzemy pochodną pierwszego wyrazu względem x. Mi od x nie jest już stałą, ponieważ bierzemy pochodną cząstkową względem x. Więc, pochodna mi od x względem x. Cóż, to jest po prostu mi prim od x, mi prim, nie u. Mi prim od x. Mi jest grecką literą. Dźwięk brzmi myi, ale wygląda prawie jak u. Tak więc, mi prim od x, razy drugi wyraz - x kwadrat, dodać xy. Dodać, po prostu, pierwszy wyraz. To jest jedynie wzór na pochodną iloczynu. Mi od x razy pochodna drugiego wyrazu względem x. Razy-- w tej linii skończyło się miejsce-- 2x dodać y. A teraz aby to nowe równanie-- w którym pomnożyłem obie strony przez mi. Aby to było zupełne te dwie rzeczy muszą być sobie równe. Pamiętajmy o co nam chodzi. Mówimy, że to będzie zupełne. Teraz spróbujemy znaleźć mi. Zobaczmy czy jesteśmy w stanie to zrobić. A więc, po tej stronie mamy: mi od x razy 3x, dodać 2y. Odejmijmy to wyrażenie od obu stron. To jest minus mi od x razy 2x, dodać y. Zobaczysz wiele zadań z równań różniczkowych, które robią się problematyczne. Tak naprawdę to tylko mnóstwo algebry. I to się równa-- co nam zostało? Napiszę to na żółto. To równa się-- kończy mi się miejsce. Zrobię to nieco niżej. To równa się temu wyrażeniu tu na górze. Równa się: mi prim od x razy x kwadrat, dodać xy. Popatrzmy, jeśli wyłączymy przed nawias mi od x, dostaniemy mi od x razy 3x, dodać 2y, odjąć 2x, odjąć y, równa się mi prim od x - pochodna mi względem x, razy x kwadrat, dodać xy. Teraz możemy to uprościć. Dostajemy mi od x razy-- co to jest?-- 3x odjąć 2x jest x. 2y odjąć y, więc x dodać y równa się-- jedynie nieco uproszczę tę stronę-- równa się mi prim od x. Wyłączmy tutaj x. Powód, dla którego to robię jest taki, że jeśli wyłączę tutaj x, dostanę x dodać y. Więc to jest: mi prim od x razy x, razy x dodać y. x razy x dodać y to x kwadrat dodać xy. Dlatego to zrobiłem, mam x dodać y po obu stronach równania, którego obie strony przez to podzielę. Jeśli podzielisz obie strony przez x dodać y-- powinniśmy założyć, że to jest różne od 0. To niezwykle upraszcza sprawę. Dostajemy: mi od x równa się mi prim od x razy x. Na potrzeby tego jak pracuje mój mózg, lubię przepisać to wyrażenie z użyciem operatorów, czyli zamiast pisać mi prim od x możemy zapisać to jako d mi dx. Zróbmy to. Możemy napisać mi od x równa się d-- pochodnej mi względem x, razy x. I to, samo w sobie, okazuje się być równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Jest to swego rodzaju pomocnicze równanie różniczkowe względem naszego wyjściowego. Tutaj próbujemy po prostu znaleźć czynnik całkujący. Podzielmy obie strony przez x. Dostajemy mi przez x-- to jest równanie o zmiennych rozdzielonych-- równa się d mi dx. Teraz podzielmy obie strony przez mi od x - dostajemy: 1 przez x równa się 1 przez mi. To jest mi od x, zapisuję to teraz jako 1 przez mi ze względu na prostotę; razy d mi dx. Teraz zrobię przejście w poziomie. Pomnóżmy obie strony przez dx - dostajemy 1 przez x równa się 1 przez mi od x d mi. Teraz moglibyśmy scałkować obie strony i dostalibyśmy, że naturalny logarytm z wartości bezwzględnej x równa się naturalnemu logarytmowi z wartości bezwzględnej mi i tak dalej. Ale powinno być dość jasne, że x jest równe mi albo, że mi jest równe x, prawda? Są identyczne. Jeśli spojrzysz na obie strony tego równania, możesz po prostu zamienić x z mi i staje się to drugą stroną. To z pewnością mówi nam, że mi od x jest równe x. Albo mi jest równe x. Mamy nasz czynnik całkujący. Jeśli chcesz, możesz wziąć antypochodną obu stron z naturalnymi logarytmami i tym wszystkim. I dostaniesz tą samą odpowiedź. Ale to jest-- spoglądając na to wiesz, że mi jest równe x. Ponieważ obydwie strony tego równania są dokładnie takie same. Tak czy siak, mamy nasz czynnik całkujący. Ale kończy mi się czas. W następnym filmiku użyjemy tego czynnika całkującego. Pomnożymy go przez nasze wyjściowe równanie różniczkowe. Zrobimy je zupełnym. I rozwiążemy je tak jak równanie zupełne. Do zobaczenia w następnym filmiku.