Główna zawartość

Zastosowanie podstawowych praw

Obwód elektryczny rozwiązujemy bezpośrednio za pomocą podstawowych praw: prawa Ohma i praw Kirchhoffa, których używamy do wyznaczenia natężeń prądów i napięć występujących w obwodzie. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wprowadzenie

Przerobiliśmy już kilka przykładów, w których prawo Ohma pomogło nam w wyprowadzeniu równań dla oporników połączonych szeregowo i równolegle , dzielnika napięcia oraz w upraszczaniu układów wielu oporników. Teraz dodamy do tego prawa Kirchhoffa. Podejście to nazwiemy zastosowaniem podstawowych praw.

Nasz cel: Wyznaczyć natężenia prądu i napięcia w poniższym obwodzie.

Kroki, które podejmiemy w tym kierunku będą wiązały się ze stworzeniem układu niezależnych równań i rozwiązaniem go:

Oznacz napięcia i natężenia prądu korzystając z konwencji znaków dla elementów pasywnych.
Wybierz zmienną niezależną, $i$ ‍ albo $v$ ‍, tak by zbudować możliwie proste równania.
Rozpisz równania używając PPK, NPK, albo obu. Sprawdź, czy każdy z elementów obwodu występuje w co najmniej jednym równaniu.
Rozwiąż układ równań.
Wyznacz potrzebne Ci napięcia lub natężenia prądu.

Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń na schemacie

Dobrym pomysłem jest zacząć od oznaczenia napięć, natężeń prądów, węzłów a następnie zrobienia listy tego, co wiemy o naszym obwodzie i tego, co chcielibyśmy wyznaczyć.

Znane własności obwodu i te, które pozostają do wyznaczenia:

$5$ ‍ elementów
$3$ ‍ węzły, oznaczone $a$ ‍, $b$ ‍ i $c$ ‍.
Węzeł jest miejscem, w którym łączy się $2$ ‍ lub więcej elementów.
Z uwagi na to, że linie reprezentują idealne przewodniki o zerowym oporze, węzła nie trzeba rysować jako jednej kropki na przecięciu. Nic nie stoi na przeszkodzie, by węzeł reprezentowany był przez kilka gałęzi i kropek. Nazywamy go wtedy węzłem rozproszonym. Węzeł $a$ ‍ jest punktem, do którego podłączone są dwa elementy (źródło napięciowe i opornik $20 Ω$ ‍). Węzły $b$ ‍ i $c$ ‍ są węzłami rozproszonymi.
Dokładne definicje i więcej przykładów znajduje się w artykule o słownictwie używanym do opisu obwodów.
$3$ ‍ oczka (wewnętrzne pętle).
$1$ ‍ napięcie źródła o wartości $v_{S}$ ‍ i $2$ ‍ napięcia elementów, $v_{1}$ ‍ i $v_{2}$ ‍.
$1$ ‍ natężenia źródła prądowego, $i_{S}$ ‍ i $3$ ‍ natężenia prądu płynącego przez elementy, $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ i $i_{3}$ ‍.

Przypisując bieguny napięć i natężeń, stosujemy konwencję znaku dla elementów pasywnych: Strzałki prądów skierowane są w kierunku dodatniego bieguna napięcia oporników.

Narysujemy ten obwód w taki sposób, by podkreślić, że występują w nim tylko trzy węzły. Obwód rozwidla się na węzłach

b

c

(Momentalnie nasuwa się pomysł, by uprościć obwód przez wprowadzenie oporu zastępczego za oporniki

6 Ω

5 Ω

. Nie zrobimy jednak tego, żeby zachować ogólną procedurę analizy takiego obwodu.)

Krok 2: Wybranie zmiennej niezależnej

Stoimy teraz przed wyborem. Czy lepiej, żeby zmienną niezależną było napięcie

v

, czy natężenie prądu

i

? Dobrym sposobem, aby o tym zdecydować, jest porównanie liczby nieznanych napięć i natężeń. W naszym obwodzie występują

2

nieznane napięcia i prądy o

3

nieznanych natężeniach. Możemy rozpisać i rozwiązać układ albo z

2

wyrazami napięciowymi, albo z

3

prądowymi. Łatwiej będzie mieć

2

niewiadome. W takim razie niech napięcie będzie zmienną niezależną.

Krok 3: Zapisanie niezależnych równań

W obwodzie występują dwa nieznane napięcia. Potrzebujemy więc zbudować dwa niezależne równania. Wybierzemy równanie NPK dla oczka po lewej stronie schematu oraz PPK dla węzła

b

. Czemu akurat tak? Kierowałem się tym, żeby uwzględnić najbardziej interesujące cechy obwodu. Węzeł

b

jest centralnym punktem naszego obwodu. Z

b

wychodzi kilka połączeń do różnych elementów. Te, które nie mają do niego bezpośredniego połączenia, należą z kolei do oczka po lewej stronie. Dzięki temu te dwa wybory dopełniają się wzajemnie. Dzięki mojemu doświadczeniu z elektroniką mogłem przewidzieć, jak będzie wyglądała dalsza analiza. Po zetknięciu się z zadaniami tego typu też wyrobisz sobie własną intuicję.

NPK wokół skrajnego lewego oczka

Skrajne lewe oczko zaznaczono pomarańczowym kółkiem.

Zaczynamy w lewym dolnym rogu obwodu, przy symbolu uziemienia. Poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, sumując po drodze napięcia. Napięciowe prawo Kirchhoffa głosi, że suma napięć na elementach w pętli wynosi zero.

+ v_{S} - v_{1} - v_{2} = 0

+ 140 - v_{1} - v_{2} = 0

Znak

-

przy

v_{1}

v_{2}

pojawia się ze względu na to, że trafiamy na bieguny

+

elementów i doświadczamy spadków napięcia.

PPK w węźle $b$ ‍

Drugie równanie otrzymamy rozpisując prądowe prawo Kirchhoffa w węźle

b

. Jedno ze sformułowań głosi, że natężenia prądów wpływających i wypływających z węzła są sobie równe.

Zsumujemy natężenia wpływające do węzła

b

i porównamy do sumy natężeń prądów wypływających.

i_{1} + i_{S} = i_{2} + i_{3}

Wcześniej w kroku 2 przyjęliśmy

v_{1}

v_{2}

za zmienne niezależne. Użyjemy więc prawa Ohma do wyrażenia nieznanych natężeń prądu przez napięcia i opory.

\frac{v_{1}}{20 Ω} + 18 = \frac{v_{2}}{6 Ω} + \frac{v_{2}}{5 Ω}

Otrzymaliśmy nasz układ dwóch równań, który po drobnym przekształceniu ma postać:

v_{1} + v_{2} = 140

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) v_{2} = - 18

W tych dwóch równaniach zawiera się wszystko, co dzieje się w obwodzie.

To dobry moment na zrobienie szybkiego sprawdzenia. Czy każdy z elementów obwodu daje swój wkład do co najmniej jednego z równań? Czy któreś pominęliśmy? Sprawdź wszystkie

5

elementów.

Kroki 4 i 5: Rozwiązanie

Spróbuj samodzielnie rozwiązać układ równań przed zajrzeniem do pełnej odpowiedzi poniżej.

Wyznacz nieznane napięcia $v_{1}$ ‍ i $v_{2}$ ‍ oraz nieznane natężenia prądów $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ oraz $i_{3}$ ‍.

v_{1} =

V

v_{2} =

V

i_{1} =

A

i_{2} =

A

i_{3} =

A

Krok 4: Rozwiązanie układu równań

Zastosujemy zwykłe przekształcenia algebraiczne. Moglibyśmy skorzystać z bardziej wyszukanych metod jak wzory Cramera.

Z pierwszego równania wyznaczymy

v_{2}

, dzięki czemu pozbędziemy się

v_{2}

z równań:

v_{2} = 140 - v_{1}

Następnie podstawimy

v_{2}

do drugiego równania:

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) (140 - v_{1}) = - 18

Wyznaczymy

v_{1}

,
(Współczynniki zostawiamy w postaci ułamkowej, żeby nie musieć dokonywać przybliżeń.)

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{5}{30} + \frac{6}{30}) (140 - v_{1}) = - 18

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{11}{30}) 140 + (\frac{11}{30}) v_{1} = - 18

Wyrazy z

v_{1}

przenosimy na lewą stronę, a wyrazy stałe na prawą:

\frac{1}{20} v_{1} + \frac{11}{30} v_{1} = (\frac{11}{30}) 140 - 18

Dalej wyliczamy:

(\frac{3}{60} + \frac{22}{60}) v_{1} = \frac{11 \cdot 140}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1540}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1000}{30}

v_{1} = \frac{60}{25} \cdot \frac{1000}{30}

v_{1} = 80 V

Udało się z jednym napięciem. Zostało jeszcze drugie:

v_{2} = 140 - v_{1}

v_{2} = 140 - 80

v_{2} = 60 V

Wyznaczyliśmy obie wartości napięć. Teraz możemy, z pomocą prawa Ohma, zająć się nieznanymi natężeniami.

Krok 5: Wyznaczenie pozostałych niewiadomych

i = \frac{v}{R}

prawo Ohma

i_{1} = \frac{v_{1}}{20} = \frac{80}{20} i_{1} = 4 A

i_{2} = \frac{v_{2}}{6} = \frac{60}{6} i_{2} = 10 A

i_{3} = \frac{v_{2}}{5} = \frac{60}{5} i_{3} = 12 A

Udało się! Tak wygląda rozwiązany obwód:

Podsumowanie

Rozwiązaliśmy ten obwód bezpośrednio stosując podstawowe prawa. Naszymi narzędziami było prawo Ohma i prawa Kirchhoffa.

Kroki rozwiązania:

Wprowadzenie oznaczeń na schemacie zgodnie z konwencją dla elementów pasywnych
Wybranie zmiennej niezależnej, $i$ ‍ albo $v$ ‍, tak by utworzyć jak najprostszy układ równań. Wybieramy tę zmienną, która da niższą liczbę niewiadomych.
Rozpisanie równań za pomocą PPK, NPK albo obu. Upewnij się, że każdy element występuje w co najmniej jednym równaniu.
Rozwiązanie układu równań ze zmiennymi niezależnymi (w naszym przypadku było to $v_{1}$ ‍ i $v_{2}$ ‍).
Rozwiązanie pozostałych niewiadomych.
‍

Nasze podejście ma solidne podstawy w podstawowych prawach. Udało się uzyskać właściwą odpowiedź, jednak wybór właściwych równań wydaje się być kwestią umowną. Na następnych stronach omówimy ustrukturyzowane metody: metodę napięć węzłowych i metodę prądów oczkowych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2