Główna zawartość

Superpozycja

Zasada superpozycji jest użyteczna w upraszczaniu analizy obwodów z wieloma źródłami. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Warsztat metod analizy obwodów warto wzbogacić o jeszcze jedną technikę, opartą o zasadę superpozycji. Stosuje się ją, mając do czynienia z obwodem z wieloma wejściami lub źródłami.

Do czego zmierzamy

Zasada superpozycji jest innym określeniem na własność addytywności funkcji zachowujących liniowość:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Pierwszym krokiem w rozwiązaniu obwodu z wykorzystaniem zasady superpozycji jest wstrzymanie wszystkich sygnałów wejściowych, oprócz jednego.

Wstrzymanie źródła napięciowego uzyskamy przez stworzenie zwarcia.
- Wstrzymanie źródła prądowego uzyskamy przez otwarcie obwodu.

W następnych krokach, powtórzonych dla każdego z wejść, dokonujemy analizy powstałych prostszych obwodów.

Ostatecznie otrzymujemy wynik będący sumą poszczególnych rozwiązań.

Opisanie obwodu funkcją

Zasadę superpozycji zdefiniowaliśmy w postaci funkcyjnej. Zastanówmy się więc, jak wyrazić działanie obwodów za pomocą funkcji.

Zacznijmy od czegoś prostego... Jak opisać pojedynczy opornik jako funkcję matematyczną? Nie dzieje się tu nic nadzwyczajnego. Chodzi mi jedynie o wyrażenie prawa Ohma jako funkcji. Zacznijmy od rozpoznania trzech aspektów: wejść i wyjść funkcji oraz elementów wykonujących operację opisaną funkcją.

Przyjąłem, że wejście funkcji opornika stanowi napięcie

v_{i}

. Możemy założyć, że napięcie pojawia się w wyniku działania niewidocznego obwodu. Interesuje nas wyznaczenie wyjścia, którym jest natężenie prądu

i

płynącego przez opornik.

Napięcie podano na zaciskach oznaczonych kółkami, nazywanych również portem wejściowym. Działanie funkcji opisane jest prawem Ohma. Sygnałem wejściowym będzie natężenie prądu

i

, mierzone przy pomocy niewidocznego miernika.

Działanie opornika możemy zapisać w postaci poniższej funkcji:

i = f (v_{i}) = \frac{1}{R} v_{i}

Z punktu widzenia tej notacji, opornik jest funkcją napięcia, zwracającą wartość natężenia prądu.

Opornik jest funkcją zachowującą liniowość

Przypatrując się funkcji opornika, możemy zauważyć, że zachowuje skalowalność. Wyjście

i

wyraża się jako wejście

v

przemnożone przez stałą,

R

. Oznacza to, że opornik zachowuje liniowość. Posiadanie tej własności jest konieczne, abyśmy dla danego obwodu mogli skorzystać z zasady superpozycji.

(Przypomnij mi znaczenie liniowości.)

Użycie superpozycji do rozwiązania obwodu

(Poniższy prosty przykład pomoże nam postawić pierwsze kroki w zasadzie superpozycji.)

Przypuśćmy, że na wejściu naszej funkcji pojawiają się dwa szeregowe napięcia:

Wejście funkcji tworzą dwie szeregowe baterie:

v_{i} = Vs1 + Vs2

Funkcja ma postać

f (v) = \frac{1}{R} v

Wyjście jest takie samo jak wcześniej,

i = f (v)

Rozwiążemy ten obwód posługując się konwencjonalną analizą, a następnie skorzystamy z zasady superpozycji.

Konwencjonalne rozwiązanie

W konwencjonalnym rozwiązaniu posłużymy się równaniem NPK dokoła pętli:

Vs1 + Vs2 - i R = 0

Wyznaczymy

i

i = f (Vs1 + Vs2) = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(konwencjonalne rozwiązanie)

Rozwiązanie z wykorzystaniem zasady superpozycji

Do liniowej funkcji

f

możemy zastosować zasadę superpozycji:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Głosi ona, że jeśli mamy dwa nałożone na siebie wejścia,

(x_{1} + x_{2})

, to możemy zaaplikować je jedno po drugim, najpierw

x_{1}

, a następnie

x_{2}

. Po zsumowaniu odpowiedzi uzyskanej dla każdego z nich, otrzymamy pełne rozwiązanie.

Spróbujmy więc zastosować zasadę superpozycji do rozwiązania naszego obwodu. Zamodelowaliśmy już obwód jako funkcję, dzięki czemu możemy stwierdzić, że:

i = f (Vs1 + Vs2)

to tyle samo, co

i = f (Vs1) + f (Vs2)

i = f (Vs1) + f (Vs2)

Powyższe sugeruje nam coś niezwykle ciekawego. Otóż sygnał natężeniowy na wyjściu możemy obliczyć w konwencjonalny sposób aplikując połączony sygnał wejściowy

f (Vs1 + Vs2)

, albo stosując najpierw

f (Vs1)

a potem

f (Vs2)

i sumując otrzymane wyniki. Spróbujmy i zobaczmy co się stanie.

Wstrzymywanie wejść

Aby skorzystać z zasady superpozycji, musimy rozważyć każdy sygnał wejściowy z osobna. Pozostałe muszą zostać wyłączone. Kiedy wyłączamy wejście, mówimy, że jest ono wstrzymane.

Z czym wiąże się wyłączenie źródła napięciowego? Wprowadzamy wartość

V = 0

, co jest równoważne z zastąpieniem źródła napięciowego albo baterii kawałkiem przewodu - zwarcie jego zacisków.

Z czym wiąże się wyłączenie źródła prądowego? Wprowadzamy wartość

I = 0

, co jest równoważne z odpięciem źródła prądowego i pozostawieniem otwartego obwodu.

Korzystanie z superpozycji

Na poniższych dwóch schematach przedstawiono dwie wersje naszego obwodu, w których wyłączono (wstrzymano) jedno ze źródeł zwierając jego zaciski.

Zerując, albo wstrzymując wejście, zamieniamy je na

0

, tak by drugie z wejść było jedynym dającym wkład do rozwiązania.

f (Vs1 + 0) \to f (Vs1)

oraz

f (0 + Vs2) \to f (Vs2)

Rozwiążemy każdą z wersji z osobna,

i_{1} = \frac{Vs1}{R}, i_{2} = \frac{Vs2}{R}

gdzie

i_{1}

oznacza natężenie prądu generowanego przez źródło

Vs 1

, a

i_{2}

natężenie prądu generowanego przez źródło

Vs 2

Natężenie całkowitego prądu wyznaczymy tworząc ich superpozycję, czyli sumując je:

i = i_{1} + i_{2}

i = \frac{Vs1}{R} + \frac{Vs2}{R}

i = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(rozwiązanie przez superpozycję)

Zobacz, rozwiązanie przez superpozycję dało ten sam wynik co konwencjonalne rozwiązanie.

Wykonaliśmy tak zwaną superpozycję liniową dwóch obwodów.

Nasz funkcja próbna była tak prosta, że zastosowanie superpozycji oszczędziło nam niewiele (jeśli nie wcale) trudu. Obwody w kolejnych przykładach będą bardziej skomplikowane, a różnica w ilości pracy - zdecydowanie bardziej zauważalna.

Przykład 1

Rozważymy poniższy obwód liniowy zawierający dwa źródła, jedno prądowe, drugie napięciowe. Sygnały ze źródeł podawane są na wejścia naszej funkcji. Na potrzeby zadania przyjmijmy, że chcemy znaleźć dwa parametry wyjściowe, natężenia prądów

i_{1}

i_{2}

i_{1} = f_{1} (Is, Vs)

, a

i_{2} = f_{2} (Is, Vs)

Będziemy analizować ten obwód metodą superpozycji.

Na początku wstrzymamy źródło prądowe i rozważymy działanie obwodu z samym źródłem napięciowym. W tym celu w miejscu źródła pozastawiamy otwarty obwód.

Z samym źródłem napięciowym, natężenia prądów wynoszą:

i_{1 V} = 0 i_{2 V} = \frac{Vs}{R 2}

gdzie

i_{1 V}

i_{2 V}

to natężenia prądów wywołanych przez źródło napięciowe, płynących przez

R1

R2

Następnie przywrócimy źródło prądowe, a wstrzymamy napięciowe, tak by możliwe było określenie wkładu samego źródła prądowego.

Z samym źródłem prądowym, natężenia prądów wyjściowych wynoszą:

i_{1 I} = Is, i_{2 I} = 0

gdzie

i_{1 I}

i_{2 I}

to natężenia prądów wywołanych przez źródło prądowe, płynących przez

R1

R2

Ostatnim krokiem jest zsumowanie wkładów obu źródeł:

i_{1} = i_{1 V} + i_{1 I} = 0 + Is = Is

i_{2} = i_{2 V} + i_{2 I} = \frac{Vs}{R 2} + 0 = \frac{Vs}{R 2}

Pełne rozwiązanie ma postać:

Rozpisanie równań węzłowych albo oczkowych dla tego układu byłoby zawiłe ze względu na obecność dwóch źródeł. Wykorzystaliśmy zasadę superpozycji by rozbić problem na analizę dwóch prostszych obwodów.

Przykład 2

Konwencjonalne rozwiązanie

Wyznaczmy napięcie wyjściowe

v

występujące w poniższym obwodzie liniowym.

Zaczniemy od konwencjonalnego podejścia, w którym rozpiszemy prądowe prawo Kirchhoffa w węźle wyjściowym

v

\begin{array}{ccc} + i_{R 1} & - i_{R 2} & + Is & = 0 \\ + \frac{Vs - v}{R1} & - \frac{v}{R2} & + Is & = 0 \end{array}

Teraz wystarczy przekształcić, tak by po jednej stronie znalazł się wyraz

v

, a podrugiej wszystkie pozostałe wyrażenia:

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 R 2}{R 1 + R 2} Is

(konwencjonalne rozwiązanie)

Rozwiązanie z wykorzystaniem zasady superpozycji

Do tego samego obwodu zastosujemy teraz zasadę superpozycji. Tak jak poprzednio, wstrzymamy sygnały wejściowe i znajdziemy rozwiązania prostszych obwodów.

Jak wstrzymać źródło prądowe?

Należy ___.

Obwód sprowadza się do dwóch oporników połączonych szeregowo, albo innymi słowy: zmienia się w dzielnik napięcia.

Napięcie

v_{V s}

stanowi wkład źródła napięciowego

Vs

Z samym źródłem napięciowym, napięcie na wyjściu wynosi:

v_{V s} = Vs \frac{R 2}{R 1 + R 2}

Następnie przywrócimy źródło prądowe a wstrzymamy napięciowe.

Jak wstrzymać źródło napięciowe?

Należy ___.

Obwód sprowadza się do dwóch oporników połączonych równolegle.

Napięcie

v_{I s}

stanowi wkład źródła prądowego

Is

v_{I s} = Is \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

Analizę zakończymy sumując otrzymane wkłady do całkowitego napięcia. Wynik, co było do przewidzenia, jest zgodny z otrzymanym powyżej za pomocą konwencjonalnej metody.

v = v_{V s} + v_{I s}

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2} Is

(rozwiązanie przez superpozycję)

Nie robimy tu żadnych przybliżeń. Oba rozwiązania są ze sobą tożsame. Najważniejszą rzeczą, na którą warto zwrócić uwagę jest to, że analiza dwóch prostych obwodów była znacznie mniej skomplikowana.

Liniowość i superpozycja jako użyteczne narzędzia

Rozważając układ zbudowany z elementów liniowych, możemy skorzystać z zasady superpozycji, według której skomplikowany obwód który chcemy rozwiązać, jest kilkoma znacznie prostszymi w analizie obwodami, które nakładają się na siebie. Wydawać się może, że to magia, ale dzięki superpozycji własności obwodu takie, jak podwójne wejścia albo nakładające się fragmenty obwodu nie mają na siebie wpływu. Każdy z prostych obwodów daje swój wkład, nie mając pojęcia o tym, co dzieje się w pozostałych, dopóki nie zsumujemy ich wkładów.

Dzięki tej cudownej własności tak bardzo cenimy sobie układy liniowe. Obwodów, które jej nie mają (obwody nieliniowe), nie możemy rozwiązać metodą superpozycji. (Lecz nie martw się, obwody nieliniowe też mają swoje uroki, tylko nieco inne.)

Podsumowanie

W obwodach z elementami liniowymi zastosować możemy zasadę superpozycji, która upraszcza analizę. W szczególności jest ona przydatna do analizy obwodów z kilkoma źródłami.

Analizując obwód z kilkoma źródłami, wstrzymujemy wszystkie sygnały wejściowe poza jednym i analizujemy je jeden po drugim. Powtarzamy to dla każdego źródła, a następnie sumujemy odpowiedzi uproszczonych obwodów, otrzymując rozwiązanie na całkowitą odpowiedź układu.

Wstrzymywanie źródeł

Chcąc wstrzymać źródło napięciowe, zastąp je zwarciem:

Chcąc wstrzymać źródło prądowe, zastąp je otwartym obwodem:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Do czego zmierzamy

Opisanie obwodu funkcją

Opornik jest funkcją zachowującą liniowość

Użycie superpozycji do rozwiązania obwodu

Konwencjonalne rozwiązanie

Rozwiązanie z wykorzystaniem zasady superpozycji

Wstrzymywanie wejść

Korzystanie z superpozycji

Przykład 1

Przykład 2

Konwencjonalne rozwiązanie

Rozwiązanie z wykorzystaniem zasady superpozycji

Liniowość i superpozycja jako użyteczne narzędzia

Podsumowanie

Wstrzymywanie źródeł

Chcesz dołączyć do dyskusji?