Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1
Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)Co to są funkcje wielu zmiennych?
Przegląd funkcji wielu zmiennych oraz sneak preview narzędzi analizy matematycznej, służących do badania takich funkcji
Do czego zmierzamy
- Funkcję nazywamy funkcją wielu zmiennych jeśli jej argumentem jest więcej niż jedna liczba.
- Funkcja bywa też nazywana funkcją wielu zmiennych jeśli jej wartością jest więcej niż jedna liczba. Zazwyczaj jednak nazywamy takie funkcje funkcjami o wartościach wektorowych.
- W wyobrażaniu sobie tych funkcji bardzo istotne jest myślenie o przestrzeniach wielowymiarowych (zazwyczaj dwu- lub trójwymiarowych, jeśli nie chcemy żeby wybuchły nam mózgi).
Czym są funkcje wielu zmiennych?
Kiedy pierwszy raz usłyszałem o funkcjach, być może u Ciebie też tak było, zawsze myślałem o nich jako o czymś co bierze liczbę i zwraca liczbę. Typowym przykładem byłoby coś takiego:
Albo takiego:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, 2, square root of, x, end square root.
Jeżeli przypomnisz sobie pierwszy raz, kiedy usłyszałeś/aś o funkcjach, to możliwe, że uczono Cię, żeby myśleć o funkcji jako o maszynie, którą karmi się liczbą, a ona tę liczbę przetwarza i wypluwa wynik.
Ale tak naprawdę funkcje nie muszą być karmione liczbami i wypluwać liczb. Funkcję można nakarmić dowolnym czymś i może wypluć dowolne coś. W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych tym czymś może być wektor liczb. Inaczej mówiąc, argument i/lub wartość może składać się z wielu liczb.
Pojedynczy argument | Wiele argumentów | |
---|---|---|
Pojedyncza wartość | f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared | f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, cubed |
Wiele wartości | f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis | f, left parenthesis, u, comma, v, right parenthesis, equals, left parenthesis, u, squared, minus, v, comma, v, squared, plus, u, right parenthesis |
Funkcja wielu zmiennych jest to po prostu funkcja, której argument i/lub wartość jest czymś więcej niż jedną liczbą. Natomiast funkcję z pojedynczym argumentem i pojedynczą wartością nazywamy funkcją jednej zmiennej.
Uwaga: Niektórzy autorzy podręczników i nauczyciele używają pojęcia funkcji wielu zmiennych w odniesieniu do funkcji o wielowymarowym argumencie, ale nie dla tych o wielowymiarowej wartości.
Wektory liczb\leftrightarrow punkty w przestrzeni
Tym, co sprawia, że rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych jest piękną dziedziną matematyki jest fakt, że wyobrażanie sobie funkcji (jak również wszystkie nowe metody, które poznasz, służące do manipulowania tymi funkcjami) wymaga działania w przestrzeniach wielowymiarowych.
Załóżmy na przykład, że argumentem pewnej funkcji jest para liczb, takich jak (2, 5). Można myśleć o tym jako o dwóch osobnych rzeczach: liczbie dwa i liczbie pięć.
Jednakże częściej reprezentuje się parę, taką jak left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis, jako pojedynczy punkt w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie współrzędna x-owa jest równa 2, a współrzędna y-owa jest równa 5.
Podobnie warto myśleć o trójce liczb, takich jak left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, jako o pojedynczym punkcie w przestrzeni trójwymiarowej, a nie jako o trzech niezwiązanych ze sobą liczbach.
W funkcjach wielu zmiennych chodzi więc o powiązanie punktów w jednej przestrzeni z punktami w innej przestrzeni. Na przykład funkcja f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, mająca dwuwymiarowy argument i jednowymiarowy wynik, wiąże punkty na płaszczyźnie x, y z punktami na osi liczbowej. Funkcja f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, y, z, comma, x, z, comma, x, y, right parenthesis wiąże punkty w przestrzeni trójwymiarowej z innymi punktami w przestrzeni trójwymiarowej.
W kilku następnych artykułach omówię różne metody, których można użyć do wyobrażania sobie tych funkcji. Te wizualizacje mogą być piękne i często bardzo pomocne dla zrozumienia, dlaczego wzór wygląda tak, a nie inaczej. Jednak czasami może to również być niezwykle dezorientujące, zwłaszcza, jeśli mamy do czynienia z więcej niż trzema wymiarami.
Myślę, że to pocieszającą myślą jest to, że ostatecznie to wszystko to tylko liczby. Może jest to para liczb przekształacana na trójkę, może to sto liczb przekształcane na sto tysięcy, ale ostatecznie dowolne zadanie, które będziesz wykonywać — lub które komputer będzie wykonywać — sprowadza się do działania na jednej liczbie na raz.
Funkcje wektorowe
Czasami o liście liczb, jak na przykład left parenthesis, 2, comma, space, 5, right parenthesis, myśli się nie jako o punkcie w przestrzeni, ale jako wektorze. Czyli jako o strzałce, która wskazuje ruch o 2 w prawo i o 5 w górę, idąc od końca do grotu.
W celu podkreślenia różnicy konceptualnej często używa się innej notacji. Liczby albo zapisuje się pionowo, , albo używa się symbolu start bold text, i, end bold text, with, hat, on top do reprezentacji współrzędnej x-owej oraz symbolu start bold text, j, end bold text, with, hat, on top do reprezentacji współrzędnej y-owej: 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 5, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top.
To, oczywiście, wyłącznie różnica konceptualna. Lista liczb jest listą liczb, bez względu na to, czy reprezentuje się ją za pomocą strzałki czy punktu. Jednak w zależności od kontekstu bardziej naturalne może być myślenie o wektorach. Prędkość i siła, na przykład, prawie zawsze są przedstawiane jako wektory, ponieważ zawiera to silną sugestię ruchu czy pchania i ciągnięcia.
Z jakiegoś powodu w przypadku funkcji wielu zmiennych częściej myśli się o wartościach jako o wektorach, zaś o argumentach myśli się jako o punktach. Nie jest to jednak reguła, a tylko konwencja.
Terminologia
Funkcję, której wartość jest wektorem, nazywamy funkcją wektorową, zaś funkcję, której wartość jest ppo prostu liczbą nazywamy funkcją skalarną — określenie powszechnie stosowane w inżynierii, lub funkcją rzeczywistą — określenie powszechnie stosowane w czystej matematyce (nazwa rzeczywista pochodzi od liczb rzeczywistych).
Przykłady funkcji wielu zmiennych
Im bardziej starasz się zamodelować rzeczywiste zjawiska, tym bardziej zdajesz sobie sprawę jak bardzo rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej może ograniczać nasze możliwości. Poniżej zamieszczono kila przykładów pokazująćych, skąd biorą się funkcje wielu zmiennych.
Przykład 1: Od położenia do temperatury
Do modelowania różnych temperatur w dużym regionie można użyć funkcji, która za argument przyjmuje dwie zmienne — długość i szerokość geograficzną, być może również wysokość jako trzecią — i której wartością jest jedna zmienna, temperatura. W zapisie może to wyglądać następująco:
- T jest temperaturą.
- L, start subscript, 1, end subscript jest długością geograficzą.
- L, start subscript, 2, end subscript jest szerokością geograniczą.
- f jest pewną skomplikowaną funkcją przyporządkowującą każdej parze długość-szerokość geograficzna odpowiadającą jej temperaturę.
Inaczej mówiąc: temperatura T jest funkcją długości geograficznej L, start subscript, 1, end subscript i szerokości geograficznej L, start subscript, 2, end subscript. Zapisujemy to jako T, left parenthesis, L, start subscript, 1, end subscript, comma, L, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis.
Przykład 2: Od czasu do położenia
Do modelowania, jak cząstka porusza się w przestrzeni w czasie, można użyć funkcji, która za argument przyjmuje jedną zmienną — czas — i której wartością są współrzędne cząstki, być może dwie lub trzy liczby, w zależności od tego, w ilu wymiarach modelujemy ruch.
Można to zapisać na kilka różnych sposobów:
- start bold text, s, end bold text, with, vector, on top jest dwu- lub trójwymiarowym "wektorem przesunięcia", wskazującym położenie cząstki.
- t jest czasem.
- f jest funkcją wektorową.
Można też podzielić składniki funkcji wektorowej na oddzielne funkcje skalarne x, left parenthesis, t, right parenthesis oraz y, left parenthesis, t, right parenthesis, które określają współrzędne x oraz y jako funkcje czasu:
Przykład 3: Od danych użytkownika do przewidywania
Kiedy strona internetowa próbuje przewidzieć zachowanie użytkownika, może stworzyć funkcję, która przyjmuje za argument tysiące zmiennych, takie jak wiek użytkownika, współrzędne jego położenia, ile razy kliknął w linki określonego typu, itp. Wartością takiej funkcji również może być wiele zmiennych, takich jak prawdopodobieństwo, że użytkownik kliknie w inny link lub prawdopodobieństwo, że zakupi inny przedmiot.
Przykład 4: Od położenia do wektora prędkości
Kiedy modeluje się przepływ płynu, jedną z metod jest opisywanie prędkości każdej poszczególnej cząstki płynu. W celu skorzystania z tego sposobu wyobraź sobie funkcję, która przyjmuje za argument współrzędne cząstki, a której wartością jest wektor prędkości tej cząstki.
To również można zapisać na kilka różnych sposobów:
- start bold text, v, end bold text, with, vector, on top jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
- x oraz y są współrzędnymi położenia.
- f jest funkcją wektorową wielu zmiennych.
Można też podzielić składniki funkcji wektorowej f i użyć notacji z wykorzystaniem start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top:
- start bold text, v, end bold text, with, vector, on top jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
- start bold text, i, end bold text, with, hat, on top jest wektorem jednostkowym w kierunku x (poziomym).
- start bold text, j, end bold text, with, hat, on top jest wektorem jednostkowym w kierunku y (pionowym).
- g jest funkcją skalarną określającą x-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.
- h jest funkcją skalarną określającą y-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.
Jak w to wpisuje się rachunek różniczkowy
Rachunek różniczkowy ma dwa podstawowe zagadnienia:
- pochodne, gdzie bada się tempo zmian funkcji przy zmianie argumentu.
- całki, gdzie bada się dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości składających się na wartość funkcji.
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rozszerza te pomysły do funkcji, których argument i/lub wartość są wielowymiarowe.
W odniesieniu do przykładów powyżej, tempo zmian może dotyczyć:
- w jaki sposób zmienia się temperatura, gdy przesuwamy się w jakimś kierunku.
- jak bardzo pod wpływem zmian w pewnych aspektach strony internetowej zmienia się zachowanie klienta kupującego online.
- wahań w tempie przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni.
Z drugiej strony "dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości" może oznaczać:
- znalezienie średniej temperatury.
- obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad cząstką podczas jej ruchu przez pewną siłę zewnętrzną.
- opisanie prędkości wypadkowej całego obszaru pewnej przepływającej cieczy.
Te przypadki różnią się fundamentalnie od rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, ponieważ musimy tutaj opisywać zmiany w różnych kierunkach, a także to, jak te zmiany odnoszą się do siebie. W kolejnych artykułach będzie widoczne, na czym dokładnie to polega.
Czy rozumiesz koncepcję?: W przykładzie 2 powyżej, gdzie położenie cząstki jest opisane jako funkcja czasu, jaki byłby przykład tempa zmian, którym możemy być zainteresowani?
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji