Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)

Co to są funkcje wielu zmiennych?

Google Classroom

Przegląd funkcji wielu zmiennych oraz sneak preview narzędzi analizy matematycznej, służących do badania takich funkcji

Do czego zmierzamy

Funkcję nazywamy funkcją wielu zmiennych jeśli jej argumentem jest więcej niż jedna liczba.
$f (\underset{\begin{matrix} Argumentem jest \\ wiele zmiennych \end{matrix}}{\underset{⏟}{x, y}}) = x^{2} y$ ‍
Funkcja bywa też nazywana funkcją wielu zmiennych jeśli jej wartością jest więcej niż jedna liczba. Zazwyczaj jednak nazywamy takie funkcje funkcjami o wartościach wektorowych.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ \sin (x) \end{matrix}] \leftarrow Wynikiem obliczenia funkcji jest więcej niż jedna liczba, w tym wypadku są to dwie liczby$ ‍
W wyobrażaniu sobie tych funkcji bardzo istotne jest myślenie o przestrzeniach wielowymiarowych (zazwyczaj dwu- lub trójwymiarowych, jeśli nie chcemy żeby wybuchły nam mózgi).

Czym są funkcje wielu zmiennych?

Kiedy pierwszy raz usłyszałem o funkcjach, być może u Ciebie też tak było, zawsze myślałem o nich jako o czymś co bierze liczbę i zwraca liczbę. Typowym przykładem byłoby coś takiego:

f (x) = x^{2}

Albo takiego:

f (x) = \sin (x) + 2 \sqrt{x}

Jeżeli przypomnisz sobie pierwszy raz, kiedy usłyszałeś/aś o funkcjach, to możliwe, że uczono Cię, żeby myśleć o funkcji jako o maszynie, którą karmi się liczbą, a ona tę liczbę przetwarza i wypluwa wynik.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Ale tak naprawdę funkcje nie muszą być karmione liczbami i wypluwać liczb. Funkcję można nakarmić dowolnym czymś i może wypluć dowolne coś. W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych tym czymś może być wektor liczb. Inaczej mówiąc, argument i/lub wartość może składać się z wielu liczb.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

**Przykłady różnych rodzajów funkcji**
	Pojedynczy argument	Wiele argumentów
Pojedyncza wartość	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
Wiele wartości	$f (t) = (\cos (t), \sin (t))$ ‍	$f (u, v) = (u^{2} - v, v^{2} + u)$ ‍

Funkcja wielu zmiennych jest to po prostu funkcja, której argument i/lub wartość jest czymś więcej niż jedną liczbą. Natomiast funkcję z pojedynczym argumentem i pojedynczą wartością nazywamy funkcją jednej zmiennej.

Uwaga: Niektórzy autorzy podręczników i nauczyciele używają pojęcia funkcji wielu zmiennych w odniesieniu do funkcji o wielowymarowym argumencie, ale nie dla tych o wielowymiarowej wartości.

Wektory liczb $\leftrightarrow$ ‍ punkty w przestrzeni

Tym, co sprawia, że rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych jest piękną dziedziną matematyki jest fakt, że wyobrażanie sobie funkcji (jak również wszystkie nowe metody, które poznasz, służące do manipulowania tymi funkcjami) wymaga działania w przestrzeniach wielowymiarowych.

Załóżmy na przykład, że argumentem pewnej funkcji jest para liczb, takich jak

(2, 5). Można myśleć o tym jako o dwóch osobnych rzeczach: liczbie dwa i liczbie pięć.

Jednakże częściej reprezentuje się parę, taką jak

(2, 5)

, jako pojedynczy punkt w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie współrzędna

x

-owa jest równa

2

, a współrzędna

y

-owa jest równa

5

Podobnie warto myśleć o trójce liczb, takich jak

(3, 1, 2)

, jako o pojedynczym punkcie w przestrzeni trójwymiarowej, a nie jako o trzech niezwiązanych ze sobą liczbach.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

W funkcjach wielu zmiennych chodzi więc o powiązanie punktów w jednej przestrzeni z punktami w innej przestrzeni. Na przykład funkcja

f (x, y) = x^{2} y

, mająca dwuwymiarowy argument i jednowymiarowy wynik, wiąże punkty na płaszczyźnie

x y

z punktami na osi liczbowej. Funkcja

f (x, y, z) = (y z, x z, x y)

wiąże punkty w przestrzeni trójwymiarowej z innymi punktami w przestrzeni trójwymiarowej.

W kilku następnych artykułach omówię różne metody, których można użyć do wyobrażania sobie tych funkcji. Te wizualizacje mogą być piękne i często bardzo pomocne dla zrozumienia, dlaczego wzór wygląda tak, a nie inaczej. Jednak czasami może to również być niezwykle dezorientujące, zwłaszcza, jeśli mamy do czynienia z więcej niż trzema wymiarami.

Myślę, że to pocieszającą myślą jest to, że ostatecznie to wszystko to tylko liczby. Może jest to para liczb przekształacana na trójkę, może to sto liczb przekształcane na sto tysięcy, ale ostatecznie dowolne zadanie, które będziesz wykonywać — lub które komputer będzie wykonywać — sprowadza się do działania na jednej liczbie na raz.

Funkcje wektorowe

Czasami o liście liczb, jak na przykład

(2, 5)

, myśli się nie jako o punkcie w przestrzeni, ale jako wektorze. Czyli jako o strzałce, która wskazuje ruch o

2

w prawo i o

5

w górę, idąc od końca do grotu.

W celu podkreślenia różnicy konceptualnej często używa się innej notacji. Liczby albo zapisuje się pionowo,

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

, albo używa się symbolu

\hat{i}

do reprezentacji współrzędnej

x

-owej oraz symbolu

\hat{j}

do reprezentacji współrzędnej

y

-owej:

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

To, oczywiście, wyłącznie różnica konceptualna. Lista liczb jest listą liczb, bez względu na to, czy reprezentuje się ją za pomocą strzałki czy punktu. Jednak w zależności od kontekstu bardziej naturalne może być myślenie o wektorach. Prędkość i siła, na przykład, prawie zawsze są przedstawiane jako wektory, ponieważ zawiera to silną sugestię ruchu czy pchania i ciągnięcia.

Z jakiegoś powodu w przypadku funkcji wielu zmiennych częściej myśli się o wartościach jako o wektorach, zaś o argumentach myśli się jako o punktach. Nie jest to jednak reguła, a tylko konwencja.

Terminologia

Funkcję, której wartość jest wektorem, nazywamy funkcją wektorową, zaś funkcję, której wartość jest ppo prostu liczbą nazywamy funkcją skalarną — określenie powszechnie stosowane w inżynierii, lub funkcją rzeczywistą — określenie powszechnie stosowane w czystej matematyce (nazwa rzeczywista pochodzi od liczb rzeczywistych).

Przykłady funkcji wielu zmiennych

Im bardziej starasz się zamodelować rzeczywiste zjawiska, tym bardziej zdajesz sobie sprawę jak bardzo rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej może ograniczać nasze możliwości. Poniżej zamieszczono kila przykładów pokazująćych, skąd biorą się funkcje wielu zmiennych.

Przykład 1: Od położenia do temperatury

Do modelowania różnych temperatur w dużym regionie można użyć funkcji, która za argument przyjmuje dwie zmienne — długość i szerokość geograficzną, być może również wysokość jako trzecią — i której wartością jest jedna zmienna, temperatura. W zapisie może to wyglądać następująco:

T = f (L_{1}, L_{2})

$T$ ‍ jest temperaturą.
$L_{1}$ ‍ jest długością geograficzą.
$L_{2}$ ‍ jest szerokością geograniczą.
$f$ ‍ jest pewną skomplikowaną funkcją przyporządkowującą każdej parze długość-szerokość geograficzna odpowiadającą jej temperaturę.

Inaczej mówiąc: temperatura

T

jest funkcją długości geograficznej

L_{1}

i szerokości geograficznej

L_{2}

. Zapisujemy to jako

T (L_{1}, L_{2})

Przykład 2: Od czasu do położenia

Do modelowania, jak cząstka porusza się w przestrzeni w czasie, można użyć funkcji, która za argument przyjmuje jedną zmienną — czas — i której wartością są współrzędne cząstki, być może dwie lub trzy liczby, w zależności od tego, w ilu wymiarach modelujemy ruch.

Można to zapisać na kilka różnych sposobów:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ jest dwu- lub trójwymiarowym "wektorem przesunięcia", wskazującym położenie cząstki.
$t$ ‍ jest czasem.
$f$ ‍ jest funkcją wektorową.

Można też podzielić składniki funkcji wektorowej na oddzielne funkcje skalarne

x (t)

oraz

y (t)

, które określają współrzędne x oraz y jako funkcje czasu:

\begin{aligned} x (t) & = \dots (jakieś wyrażenie zależne od t) \dots \\ y (t) & = \dots (jakieś inne wyrażenie zależne od t) \dots \end{aligned}

Przykład 3: Od danych użytkownika do przewidywania

Kiedy strona internetowa próbuje przewidzieć zachowanie użytkownika, może stworzyć funkcję, która przyjmuje za argument tysiące zmiennych, takie jak wiek użytkownika, współrzędne jego położenia, ile razy kliknął w linki określonego typu, itp. Wartością takiej funkcji również może być wiele zmiennych, takich jak prawdopodobieństwo, że użytkownik kliknie w inny link lub prawdopodobieństwo, że zakupi inny przedmiot.

Przykład 4: Od położenia do wektora prędkości

Kiedy modeluje się przepływ płynu, jedną z metod jest opisywanie prędkości każdej poszczególnej cząstki płynu. W celu skorzystania z tego sposobu wyobraź sobie funkcję, która przyjmuje za argument współrzędne cząstki, a której wartością jest wektor prędkości tej cząstki.

To również można zapisać na kilka różnych sposobów:

\vec{v} = f (x, y)

$\vec{v}$ ‍ jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
$x$ ‍ oraz $y$ ‍ są współrzędnymi położenia.
$f$ ‍ jest funkcją wektorową wielu zmiennych.

Można też podzielić składniki funkcji wektorowej

f

i użyć notacji z wykorzystaniem

\hat{i}

\hat{j}

\vec{v} = g (x, y) \hat{i} + h (x, y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
$\hat{i}$ ‍ jest wektorem jednostkowym w kierunku $x$ ‍ (poziomym).
$\hat{j}$ ‍ jest wektorem jednostkowym w kierunku $y$ ‍ (pionowym).
$g$ ‍ jest funkcją skalarną określającą $x$ ‍-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.
$h$ ‍ jest funkcją skalarną określającą $y$ ‍-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.

Jak w to wpisuje się rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy ma dwa podstawowe zagadnienia:

pochodne, gdzie bada się tempo zmian funkcji przy zmianie argumentu.
całki, gdzie bada się dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości składających się na wartość funkcji.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rozszerza te pomysły do funkcji, których argument i/lub wartość są wielowymiarowe.

W odniesieniu do przykładów powyżej, tempo zmian może dotyczyć:

w jaki sposób zmienia się temperatura, gdy przesuwamy się w jakimś kierunku.
jak bardzo pod wpływem zmian w pewnych aspektach strony internetowej zmienia się zachowanie klienta kupującego online.
wahań w tempie przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni.

Z drugiej strony "dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości" może oznaczać:

znalezienie średniej temperatury.
[Dlaczego jest to "dodawanie nieskończenie wielu wartości"?]
obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad cząstką podczas jej ruchu przez pewną siłę zewnętrzną.
opisanie prędkości wypadkowej całego obszaru pewnej przepływającej cieczy.

Te przypadki różnią się fundamentalnie od rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, ponieważ musimy tutaj opisywać zmiany w różnych kierunkach, a także to, jak te zmiany odnoszą się do siebie. W kolejnych artykułach będzie widoczne, na czym dokładnie to polega.

Czy rozumiesz koncepcję?: W przykładzie 2 powyżej, gdzie położenie cząstki jest opisane jako funkcja czasu, jaki byłby przykład tempa zmian, którym możemy być zainteresowani?

[Pokaż możliwe odpowiedzi.]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Do czego zmierzamy

Czym są funkcje wielu zmiennych?

Wektory liczb↔‍ punkty w przestrzeni

Funkcje wektorowe

Terminologia

Przykłady funkcji wielu zmiennych

Przykład 1: Od położenia do temperatury

Przykład 2: Od czasu do położenia

Przykład 3: Od danych użytkownika do przewidywania

Przykład 4: Od położenia do wektora prędkości

Jak w to wpisuje się rachunek różniczkowy

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Wektory liczb $\leftrightarrow$ ‍ punkty w przestrzeni