Co to są funkcje wielu zmiennych?

Do czego zmierzamy

• Funkcję nazywamy funkcją wielu zmiennych jeśli jej argumentem jest więcej niż jedna liczba.
  $\quad \displaystyle f(\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{x, y}_{\substack{ \text{Argumentem jest} \\ \text{wiele zmiennych} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!) = x^2 y$
• Funkcja bywa też nazywana funkcją wielu zmiennych jeśli jej wartością jest więcej niż jedna liczba. Zazwyczaj jednak nazywamy takie funkcje funkcjami o wartościach wektorowych.
  $\displaystyle f(x) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x) \\ \sin(x) \end{array} \right] \quad\leftarrow \small{\text{Wynikiem obliczenia funkcji jest więcej niż jedna liczba, w tym wypadku są to dwie liczby}}$
• W wyobrażaniu sobie tych funkcji bardzo istotne jest myślenie o przestrzeniach wielowymiarowych (zazwyczaj dwu- lub trójwymiarowych, jeśli nie chcemy żeby wybuchły nam mózgi).

Czym są funkcje wielu zmiennych?

Wektory liczb$\leftrightarrow$\leftrightarrow punkty w przestrzeni

Funkcje wektorowe

Terminologia

Przykłady funkcji wielu zmiennych

Przykład 1: Od położenia do temperatury

• $T$T jest temperaturą.
• $L_1$L, start subscript, 1, end subscript jest długością geograficzą.
• $L_2$L, start subscript, 2, end subscript jest szerokością geograniczą.
• $f$f jest pewną skomplikowaną funkcją przyporządkowującą każdej parze długość-szerokość geograficzna odpowiadającą jej temperaturę.

Przykład 2: Od czasu do położenia

• $\vec{\textbf{s}}$start bold text, s, end bold text, with, vector, on top jest dwu- lub trójwymiarowym "wektorem przesunięcia", wskazującym położenie cząstki.
• $t$t jest czasem.
• $f$f jest funkcją wektorową.

Przykład 3: Od danych użytkownika do przewidywania

Przykład 4: Od położenia do wektora prędkości

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
• $x$x oraz $y$y są współrzędnymi położenia.
• $f$f jest funkcją wektorową wielu zmiennych.

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top jest dwuwymiarowym wektorem prędkości.
• $\hat{\textbf{i}}$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top jest wektorem jednostkowym w kierunku $x$x (poziomym).
• $\hat{\textbf{j}}$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top jest wektorem jednostkowym w kierunku $y$y (pionowym).
• $g$g jest funkcją skalarną określającą $x$x-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.
• $h$h jest funkcją skalarną określającą $y$y-owy składnik każdego wektora jako funkcję położenia.

Jak w to wpisuje się rachunek różniczkowy

• pochodne, gdzie bada się tempo zmian funkcji przy zmianie argumentu.
• całki, gdzie bada się dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości składających się na wartość funkcji.

• w jaki sposób zmienia się temperatura, gdy przesuwamy się w jakimś kierunku.
• jak bardzo pod wpływem zmian w pewnych aspektach strony internetowej zmienia się zachowanie klienta kupującego online.
• wahań w tempie przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni.

• znalezienie średniej temperatury.
  [Dlaczego jest to "dodawanie nieskończenie wielu wartości"?]
• obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad cząstką podczas jej ruchu przez pewną siłę zewnętrzną.
• opisanie prędkości wypadkowej całego obszaru pewnej przepływającej cieczy.