Główna zawartość

Kurs: Elektrotechnika > Rozdział 2

Lekcja 4: Odpowiedź swobodna i wymuszona

Odpowiedź swobodna układu RL

Odpowiedź naturalna układu RL. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Zbadamy odpowiedź naturalną obwodu zawierającego opornik i cewkę, analogicznie do naszych wcześniejszych rozważań dla układu RC.

Z tego typu układem

RL

zetkniesz się dość często. Pojawia się za każdym razem, gdy w obwodzie występuje uzwojony fragment drutu. Przykładem jest przekaźnik mechaniczny zawierający uzwojenie, które pełni rolę elektromagnesu. Cewki znajdują się w niemal każdym źródle zasilania oraz w wielu filtrach. Każdy przewód i ścieżka na płytce drukowanej posiadają niewielką samoindukcję, która może mieć istotny wpływ na pracę bardzo szybkich obwodów.

W takim układzie musimy brać pod uwagę upływ czasu. Dokładne zrozumienie wymaga sięgnięcia po pojęcia rachunku różniczkowego. Do opisu zachowania układu

RL

posłużymy się pochodnymi.

Do czego zmierzamy

Przez cewkę, która jest wpięta do obwodu wraz w opornikiem, płynie początkowy prąd o natężeniu

I_{0}

, które zanika wykładniczo zgodnie z równaniem:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

gdzie

I_{0}

oznacza natężenie prądu w chwili

t = 0

. Zależność ta opisuje odpowiedź naturalną układu.

Stała czasowa układu

RL

wynosi

τ = \frac{L}{R}

Stała czasowa jest miarą nachylenia funkcji wykładniczej, a wyrażona jest w sekundach.

Odpowiedź naturalna opisuje działanie obwodu odizolowanego od wpływu otoczenia - nie wpływa do niego energia. Jest to najprostsze działanie obwodu. Gdy obwód jest częścią większego układu, odpowiedź naturalna jest kluczowym czynnikiem determinującym zachowanie całego układu.

Konfiguracja odpowiedzi naturalnej w układzie RL

Chcąc zmusić układ

RL

do działania, wezwiemy niewidzialnego pomocnika, który doprowadzi do układu trochę energii. Następnie odejdzie na bok a my, nie ruszając układu, będziemy obserwować to, co się będzie działo.

Po prawej stronie schematu mamy cewkę

L

i opornik

R

, tworzące obwód, który chcemy zbadać. Po lewej stronie jest nasz "pomocnik" w postaci źródła prądowego

I

, opornika

R

oraz przełącznika znajdującego się w pozycji zamkniętej.

Powiedzmy, że przełącznik był zamknięty od długiego czasu. Niebieska pętla pokazuje przepływ prądu w obwodzie:

Skąd wiadomo, że cały prąd płynie przez cewkę a nie przez opornik? Mówi nam o tym równanie cewki:

v = L \frac{d i}{d t}

Napięcie wejścia jest stałe, nie zmienia się w czasie.

To oznacza, że różniczka natężenia prądu po czasie

\frac{d i}{d t} = 0

Po wstawieniu do równania cewki otrzymujemy

v = L \cdot 0 = 0

. Napięcie na cewce (oraz na obu opornikach) wynosi

0

. Z prawa Ohma wiemy, że przy napięciu

0 V

, przez opornik nie płynie prąd.

Natężenie prądu płynącego przez cewkę jest stałe. W takiej sytuacji mówimy, że cewka "wygląda" jak zwarcie. Napięcie na zaciskach wynosi

0 V

, tak jak w przypadku idealnego kawałka przewodu.

Warunki początkowe

Przez cewkę płynie prąd. W chwili

t = 0

otwieramy przełącznik. Spróbujmy określić jakie są warunki początkowe.

Otwarcie przełącznika sprawiło, że nasz pomocniczy obwód

(I, R 0)

jest teraz odpięty od układu

RL

. Po stronie pomocnika, prąd o natężeniu

I

zaczyna płynąć przez

R 0

. Pomocnik wykonał już swoje zadanie i od tej pory będziemy go ignorować. Po stronie układu

RL

, prąd natychmiast zaczyna płynąć przez opornik

R

Po otwarciu przełącznika, opornik

R 0

odbiera prąd generowany na źródle. Nieelegancko byłoby prosić źródło prądowe o zasilenie otwartego obwodu. Starając się "wepchnąć" prąd do otwartego obwodu, idealne źródło prądowe wygenerowałoby nieskończone napięcie. Z podobnych względów należy unikać zwierania źródła napięciowego, które wygenerowałoby wtedy nieskończony prąd.

Warunki początkowe - podsumowanie

W chwili

t = 0^{-}

przed otwarciem obwodu pomocniczego, przez cewkę płynie prąd, który oznaczymy jako

I_{0}

. Na cewce i na oporniku zmierzymy napięcie

0 V

W nieco późniejszej chwili

t = 0^{+}

, przełącznik jest już otwarty. Prąd o natężeniu

I_{0}

, wciąż płynący przez cewkę

L

, pojawia się również na oporniku

R

Natężenie prądu na cewce nie zmienia się, a wręcz nie może zmienić w sposób natychmiastowy. Zatem tuż przed i tuż po otwarciu przełącznika, natężenie prądu na cewce jest identyczne.

Prąd płynący przez cewkę sprawia, że w polu magnetycznym, które ją otacza, gromadzona jest energia, która nie może zniknąć albo ulecieć gdzieś w zerowym czasie. Energia stopniowo powraca do obwodu podtrzymując przepływ prądu, do momentu jej wyczerpania.

To zachowanie pojawia się w równaniu cewki:

v = L \frac{d i}{d t}

Gdyby prąd zmieniał się w sposób natychmiastowy, czyli w zerowym czasie zachodziłaby skończona zmiana

i

, to pochodna natężenia prądu po czasie,

d i / d t

, byłaby nieskończona. W rezultacie otrzymalibyśmy nieskończone napięcie na cewce. Jest to sytuacja, która nie może mieć miejsca.

Posłużymy się analogią do układu mechanicznego. Zgromadzona na cewce energia pola magnetycznego jest jak pęd zgromadzony w ciele o pewnej masie. Jeśli spróbujemy nagle zatrzymać poruszające się ciało, jego pęd nie rozproszy się natychmiast, bo zatrzymanie masy zajmie jakiś czas. Mówimy, że pęd podtrzymuje ciało w ruchu. W naszym obwodzie, napięcie odpowiada sile pchającej ciało, a natężenie prądu - prędkości, z jaką ciało się porusza.

Przez cały miniony czas aż do

t = 0^{+}

, przez cewkę płynie prąd o stałym natężeniu

I_{0}

Odpowiedź naturalna układu RL - opis intuicyjny

Spróbujmy wydedukować, co stanie się dalej. Chcielibyśmy wyznaczyć

i

v

w funkcji czasu.

Powyżej stwierdziliśmy, że tuż po otwarciu przełącznika przez cewkę płynie prąd o natężeniu

I_{0}

. Co dzieje się z napięciem?

Na oporniku pojawił się skok natężenia prądu z

0

I_{0}

. Napięcie reaguje natychmiast i skacze do wartości

v (0^{+}) = I_{0} R

Natychmiastowa zmiana napięcia nie stanowi dla cewki żadnego problemu. Jeśli napięcie skoczy z

1

10

, nachylenie prądu zwiększy się

10 \times

(dziesięciokrotnie), zgodnie z równaniem cewki. Dokładnie tak się dzieje z cewkami w rzeczywistych obwodach.

Wracając do mechanicznej analogii, zmiana napięcia cewki jest jak zmiana siły przyłożonej do ciała. Nie ma żadnych przeszkód, by siła nagle się zmieniła.

Znamy teraz zarówno natężenie prądu jak i napięcie tuż po otwarciu przełącznika. Zastanówmy się nad stanem końcowym, który układ osiągnie po upływie odpowiednio długiego czasu.

W odróżnieniu od idealnej cewki albo kondensatora, opornik rozprasza energię w postaci ciepła. Ciepło bierze się z energii zgromadzonej w polu magnetycznym cewki (które zresztą jest jedynym źródłem energii w naszym obwodzie z odpowiedzią naturalną). Jeśli poczekamy odpowiednio długo, cała energia, która na początku znajdowała się w cewce, przekształci się w ciepło wydzielone przez opornik. Kiedy tak się stanie,

i

v

wszędzie w obwodzie będzie wynosiło zero. Oto stan końcowy naszego układu.

Określiliśmy jak wygląda

i (t)

v (t)

w stanie początkowym i końcowym:

Co dzieje się pomiędzy?

Postaramy się wypełnić teraz część pomiędzy chwilą

t (0^{+})

a stanem końcowym. Zgadujemy, na razie, że te dwa segmenty połączone są gładką krzywą. Istnieją podstawy by sądzić, że na początku szybkość zmian jest wyższa niż później. Natężenie prądu ma wyższą wartość, więc szybkość rozpraszania energii na oporniku również jest wyższa. Kierując się intuicją, naszkicujemy przewidywany przebieg krzywych prądu i napięcia.

Za chwilę okaże się, że to całkiem dobry strzał, jeśli chodzi o odpowiedź naturalną układu

RL

. Kierując się samą intuicją udało nam się znaleźć stan końcowy i początkowy oraz naszkicować przybliżony kształt stanu przejściowego. Nie wiemy jeszcze jak szybki jest zanik parametrów, ani jak długi czas zajmie osiągnięcie "odległego" w czasie momentu.

W następnym kroku znajdziemy dokładne rozwiązanie, posiłkując się odrobiną rachunku różniczkowego.

Formalne wyprowadzenie odpowiedzi naturalnej układu $RL$ ‍

Naszym celem jest wyprowadzenie odpowiedzi naturalnej układu

RL

, czyli równań opisujących

i

v

w funkcji czasu. Skorzystamy z tych samych kroków, co w przypadku wyprowadzenia odpowiedzi naturalnej układu RC.

Załóżmy, że przez cewkę

L

płynie początkowy prąd o natężeniu

I_{0}

Modelowe elementy

Przypomnimy charakterystyki prądowo-napięciowe (

i

v

) naszych dwóch komponentów:

Dla opornika jest to równanie prawa Ohma:

v_{R} = i R

Natomiast równanie

i

v

cewki ma postać:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

Zamodelujmy obwód

Poczynając od lewego górnego rogu, rozpiszemy równania drugiego prawa Kirchhoffa, poruszając się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

v_{L} + v_{R} = 0

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Zapisaliśmy równanie różniczkowe przedstawiające modelowe zachowanie obwodu.

Od teraz

v_{R}

będziemy oznaczać po prostu -

v

Rozwiążmy obwód

Powyższe równanie jest równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu.

Przejdziemy teraz, krok po kroku, przez rozwiązanie tego typu równania różniczkowego. Jednym ze sposobów jest zgadnięcie postaci rozwiązania, a następnie sprawdzenie, czy spełnia ono nasze równanie. Zrobiliśmy tak wcześniej analizując odpowiedź naturalją układu RC. Dokładnie tak samo postąpimy tym razem.

To konkretne równanie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Sposób rozwiązywania tego typu równań przestawiono na końcu tego artykułu. W tej metodzie nie jest koniczne stosowanie zgadywania.

Sal przygotował serię filmów na temat równań o zmiennych rozdzielonych, gdzie dokładnie opisuje tę metodę. Wspomina też o metodzie zgadnięcia rozwiązania w kontekście równań różniczkowych drugiego rzędu. Równania drugiego rzędu pojawią się, gdy zaczniemy rozważać układy

RLC

Próbujemy rozwiązać równanie różniczkowe przez wymyślenie funkcji opisującej zmianę natężenia prądu w czasie,

i (t)

, wstawienie jej do równania i sprawdzenie, czy jest ono spełnione.

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

(równanie różniczkowe)

Tak jak dla układu

RC

, spróbujemy z funkcją wykładniczą z przestrajalnymi parametrami

K

s

i (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ oznacza czas
$i (t)$ ‍ oznacza natężenie prądu w funkcji czasu
$K$ ‍ i $s$ ‍ są stałymi, które chcemy wyznaczyć
$K$ ‍ jest czynnikiem amplitudowym który przeskalowuje natężenie w górę bądź w dół.
$s$ ‍ musi mieć miano $1 / t$ ‍, tak by wyraz w wykładniku był bezwymiarowy.

Podstawmy zapostulowane rozwiązanie do naszego równania i sprawdźmy czy jest spełnione:

L \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + R (K e^{s t}) = 0

Zajmiemy się najpierw pochodną pierwszego wyrazu:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Podstawmy wyznaczoną pochodną do naszego równania:

s L K e^{s t} + R K e^{s t} = 0

Możemy wyciągnąć przed nawias wyraz

K e^{s t}

(s L + R) K e^{s t} = 0

Otrzymaliśmy równanie opisujące rozważany przez nas obwód z zapostulowanym

i (t)

Teraz możemy wyznaczyć dwie stałe,

K

s

, występujące w równaniu. Dowiedzmy się, czy możemy wybrać ich wartości tak, by nasze równanie było spełnione.

Moglibyśmy podstawić

K = 0

. Oczywiście równanie będzie wtedy spełnione, ale jest to mało ciekawe. Nie wprowadzamy żadnego prądu i nic się nie dzieje.

Drugim trywialnym rozwiązaniem jest

e^{s t} = 0

. Możemy wybrać dowolną ujemną liczbę za

s

i cierpliwie czekać, aż

t

osiągnie

+ \infty

. Czyli będziemy siedzieć przez całą wieczność czekając, aż prąd spadnie do zera. Znowu nudy.

Trzecim i ostatnim rozwiązaniem jest

s L + R = 0

. To już trochę ciekawsze. Równość ta jest spełniona, gdy:

s = - \frac{R}{L}

Udało się znaleźć wyrażenie na parametr

s

. Możemy podstawić do równania na natężenie prądu:

i (t) = K e^{- R t / L}

Ostatnim krokiem jest znalezienie

K

- czynnika amplitudowego. Odniesiemy się do warunków początkowych. W chwili przełączenia obwodu, przez cewkę płynął prąd o znanym natężeniu. By wyznaczyć

K

, wstawmy do naszego równania wszystko co wiemy na temat stanu układu w chwili

t = 0^{+}

. Natężenie prądu wynosi

i (0^{+}) = I_{0}

i (0) = I_{0} = K e^{- R \cdot 0 / L}

I_{0} = K e^{0}

K = I_{0}

Zrobione! Wyznaczyliśmy wartości obu parametrów, tak by nasze rozwiązanie spełniało równanie różniczkowe. Znamy już natężenie prądu w dowolnej chwili po otwarciu przełącznika.

Ogólna postać odpowiedzi naturalnej układu

RL

wynosi:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

Zależność napięcia od czasu

v (t)

wyznaczymy wprost z prawa Ohma:

v (t) = R \cdot i (t)

v (t) = R I_{0} e^{- R t / L}

Kształt odpowiedzi naturalnej układu $RL$ ‍

Wykresy przedstawiają odpowiedź naturalną odpowiedzi naturalnej układu

RL

. Dla

t \leq 0

, natężenie prądu wynosi

I_{0}

. Po chwili

t = 0

, natężenie spada wykładniczo do osiągnięcia

0

. Szybkość zmiany (nachylenie krzywej) jest najwyższe na początku gdy natężenie prądu jest najwyższe. Nachylenie funkcji wykładniczej określane jest przez stosunek

R / L

Dla czasu

t \leq 0

, napięcie na cewce wynosi dokładnie

0

. W chwili

t = 0

pojawia się nagły skok spowodowany tym, że natężenie prądu zaczyna się zmieniać. Jego wysokość zależy od wartości początkowego natężenia

I_{0}

oraz oporu

R

, a, co ciekawe, nie zależy od indukcyjności cewki

L

. Przebieg zmian napięcia jest podobny. Ma kształt krzywej eksponencjalnej zanikającej stopniowo do

0

Porównaj wykresy wyliczone ze wzorów z naszymi wcześniejszymi szkicami. Okazuje się, że przebieg naszkicowanych funkcji był odpowiedni.

Stała czasowa układu opornik-cewka

Wykładnik musi mieć postać niemianowanej liczby. Jednostki, w których wyraża się ułamek

R / L

muszą skrócić się z

t

. W takim razie

L / R

wyraża się w

sekundach

L / R

nazywamy stałą czasową połączenia opornik-cewka. Ma te same własności, co iloczyn

R \cdot C

w przypadku obwodu opornik-kondensator. Do oznaczania jej używamy greckiej litery

τ

(tau). W przypadku pary opornik-cewka możemy napisać:

τ = \frac{L}{R}

Stała czasowa naszego układu wydłuża się, czym większą cewkę albo czym mniejszy opornik umieścimy w obwodzie (w odróżnieniu do stałej czasowej układu

RC

, która wydłuża się przy zwiększeniu zarówno

C

jak i

R

Równanie odpowiedzi naturalnej możemy wyrazić za pomocą

τ

i (t) = I_{0} e^{- t / τ}

Gdy

t

jest równe stałej czasowej, w wykładniku

e

pojawia się wartość

- 1

, a funkcja przyjmuje wartość

1 / e

, czyli około

0, 37

. Stała czasowa mówi nam, jak szybko spada natężenie prądu. Po upływie

1

stałej czasowej, natężenie spada do

37 %

swojej wartości początkowej.

Zwróć uwagę na jedną rzecz: Choć mamy do czynienia z układem

RL

, nie oznacza to, że stała czasowa wynosi

RL

. Jest równa

τ = \frac{L}{R}

Dla znanego nam układu

RC

, stała czasowa wynosi

RC

Zachowaj czujność i postaraj się nie dać złapać w pułapkę.

Spróbuj zapamiętać, że wypowiadając wyrażenie

L / R

("L nad R"), zachowujesz kolejność alfabetyczną. "R nad L" nie spełnia tej reguły.

Odpowiedź naturalna układu $RL$ ‍ - przykład

Przeróbmy razem jeden przykład. Rozwiążemy poniższy obwód:

zadanie 1

Ile wynosi $i$ ‍ po zamknięciu obwodu?

i =

mA

Zadanie 2

Ile wynosi $v$ ‍ po zamknięciu obwodu?

v =

V

Otwieramy przełącznik w chwili

t = 0

Zadanie 3

Ile wynosi $i$ ‍ na cewce w chwili, w której otwarto obwód?

i =

mA

Zadanie 4

Ile wynosi stała czasowa, $τ$ ‍ ?

τ =

s

Zapisz postać $i (t)$ ‍ i $v (t)$ ‍ po $t = 0$ ‍.

i (t) =____,

v (t) =____

Odpowiedź naturalna obwodu z naszego przykładu wygląda następująco:

Podsumowanie

Odpowiedź naturalna układu

RL

wyraża się przez funkcję eksponencjalną:

i (t) = I_{0} e^{- R t / L}

gdzie

I_{0}

jest natężeniem prądu w chwili

t = 0

Stała czasowa układu

RL

przyjmuje postać

τ = \frac{L}{R}

Dodatek - rozwiązywanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

Przypomnijmy: Równanie układu

LC

jest równaniem różniczkowym w postaci:

L \frac{d i}{d t} + i R = 0

Poniżej przedstawiono kroki prowadzące do rozwiązania tego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych. Jeśli zaznajomiłeś się z tą techniką ucząc się rachunku różniczkowego i całkowego, możesz rozwiązać równania układów

RL

RC

(równania różniczkowe pierwszego rzędu) bez zgadywania rozwiązań.

$\begin{aligned} L \frac{d i}{d t} & = - i R \\ L \frac{d i}{i} & = - R d t \\ \int_{0}^{t} L \frac{d i}{i} & = - \int_{0}^{t} R d t \\ L [\ln i (t) - \ln i (0)] & = - R t \\ L \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t \\ \ln (i (t) / I_{0}) & = - R t / L \\ i (t) / I_{0} & = e^{- R t / L} \\ i (t) & = I_{0} e^{- R t / L} \end{aligned}$ ‍

Wcześniej uzyskaliśmy tę samą odpowiedź korzystając ze zgadniętego rozwiązania.

Sal przygotował serię filmów opisujących, jak rozwiązać równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Elektrotechnika