If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wyprowadzenie odpowiedzi swobodnej układu RLC

Formalne wyprowadzenie odpowiedzi nautralnej układu RLC. Stworzone przez Willy McAllister. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji Akamai.

Wprowadzenie

Zagłębimy się teraz w działanie układu RLC, ostatniego dla którego wyprowadzimy przebieg odpowiedzi naturalnej. Punktem wyjścia będzie, tak jak dotychczas, równanie różniczkowe opisujące zmiany natężenia prądu w czasie.
Układ RLC przypomina rzeczywiste obwody, gdyż w każdym z nich występuje pewien skończony opór. Wykazuje on różnorodną odpowiedź o zróżnicowanym poziomie złożoności, przez co znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach elektrotechniki.
Schematyczne przedstawienie układu RLC, którego odpowiedź swobodną dyskutujemy w tym artykule.

Do czego zmierzamy

Odpowiedź naturalna układu RLC opisywana jest przez liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu, w którym rolę zmiennej niezależnej sprawuje i:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Równanie charakterystyczne ma postać:
s2+RLs+1LC=0,
Rozwiązania równania charakterystycznego wyznaczymy ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
s=R±R24L/C2L.
Po podstawieniu zmiennych α i ωo, s możemy rozpisać w uproszczonej formie:
s=α±α2ωo2.
gdzie α=R2L i ωo=1LC.
α nazywamy współczynnikiem tłumienia, a ωo to częstość rezonansowa.
Znajdziemy rozwiązanie dla układu RLC z rzeczywistymi parametrami elementów obwodu i prześledzimy przebieg zmian natężenia prądu i napięcia.

Nasza strategia

W celu rozwiązania naszego układu zastosujemy tę samą procedurę co dla rozważanego wcześniej drugorzędowego układu LC.
  1. Wychodząc od charakterystyk i-v opornika, cewki i kondensatora, zbudujemy jednorodne równanie różniczkowego drugiego rzędu. Skorzystamy z drugiego (napięciowego) prawa Kirchhoffa.
  2. Kierując się naszym doświadczeniem, zgadniemy postać rozwiązania. Tak jak dotychczas, rozwiązanie będzie miało ogólną postać Kest.
  3. Wstawimy nasze rozwiązanie do równania różniczkowego. Po skróceniu wyrazów wykładniczych otrzymamy równanie charakterystyczne zmiennej s.
  4. Rozwiążemy równanie charakterystycznego posługując się wzorem na pierwiastki funkcji kwadratowej.
  5. Z warunków początkowych wyznaczymy wartości stałych występujących w rozwiązaniu.
  6. Będziemy świętować znalezienie rozwiązania.

Matematyczny model układu

Stan obwodu w chwili tuż przed jego zamknięciem: występuje zerowe natężenie prądu a kondensator naładowany jest do napięcia początkowego wynoszącego V0 woltów.
Poniższy schemat pokazuje stan po zamknięciu obwodu (w tym przypadku występują dwa różne napięcia na cewce i oporniku oznaczane jako vL i vR).
Stan obwodu w chwili tuż po jego zamknięciu. Nie wyznaczyliśmy jeszcze natężenia prądu i napięcia w chwili t=0+. Zrobimy to w sekcji zatytułowanej Znajdowanie warunków początkowych.
Możemy zapisać równania i-v osobno dla każdego z elementów obwodu.
vL=Ldidt
vR=iR
vC=1Cidt
Rozpiszemy drugie prawo Kirchhoffa dla naszego obwodu. Rozpoczynamy od dolnego lewego końca obwodu i poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, sumując po drodze napięcia. Na cewce obserwujemy skok, a na oporniku i kondensatorze - spadek napięcia.
+vLvRvC=0
W równaniu prawa Kirchhoffa za napięcia podstawimy zapisane wcześniej wyrażenia w których występuje natężenie prądu:
Ldidt+Ri+1Cidt=0
Moglibyśmy, oczywiście, od razu zmierzyć się z tym równaniem. Wyraz z całką jest jednak niewygodny i prościej będzie nam zróżniczkować najpierw całe równanie.
ddt[Ldidt+Ri+1Cidt=0]
Uzyskujemy poniższe równanie zawierające wyrazy, w których występuje i oraz jego pierwsza i druga pochodna. Suma wszystkich członów równa jest 0.
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Nazywamy je jednorodnym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Jest ono *jednorodne, gdyż występuje w nim tylko jedna funkcja czasu, natężenie prądu i i jego pochodne. Mówimy, że jest drugiego rzędu, gdyż pochodne i, które w nim występują, są co najwyżej drugiego rzędu. Jest nazywany zwyczajnym, bo występuje w nim jedna zmienna niezależna t (nie występują pochodne cząstkowe). Teraz pokażemy, jak je rozwiązać.

Postulujemy rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednich rozdziałach omawiających odpowiedź naturalną układów elektrycznych (RC, RL i LC), założymy eksponencjalną postać rozwiązania. Zadziwiającą własnością funkcji eksponencjalnej jest to, że po zróżniczkowaniu prawie się nie zmienia. Postulowane rozwiązanie ma więc postać:
i(t)=Kest
K jest czynnikiem amplitudowym, który skaluje natężenie prądu.
s występuje w eksponencie obok czasu t. Musi mieć wymiar 1/t tak, by wyrażenie w wykładniku było bezwymiarowe. Wielkości o takim wymiarze nazywamy częstościami, a skoro mowa o odpowiedzi naturalnej to s nazwiemy częstością naturalną.

Sprawdzamy postulowane rozwiązanie

Teraz podstawimy postulowaną funkcję do równania różniczkowego. W ten sposób sprawdzimy, czy jest ono spełnione.
Ld2dt2Kest+RddtKest+1CKest=0
Wykonamy wszystkie różniczkowania występujące w wyrazach równania.
Środkowy wyraz: Pierwsza pochodna wyrazu z R wynosi:
RddtKest=sRKest.
Pierwszy wyraz: Dwukrotnie różniczkujemy Kest. Pierwszy wyraz wynosi:
ddtKest=sKest
ddtsKest=s2Kest,
więc wiodący wyraz ma postać:
Ld2dt2Kest=s2LKest.
Wstawimy wyznaczone pochodne z powrotem do naszego równania:
s2LKest+sRKest+1CKest=0
Wyciągniemy wyrażenie Kest przed nawias:
Kest(s2L+sR+1C)=0

Sprawmy by równanie było spełnione

Spróbujmy odpowiedzieć sobie, na ile sposobów możemy sprawić, by równanie było spełnione.
Pierwsze możliwe rozwiązanie to K=0. Wtedy i=0, więc nie dzieje się nic ciekawego.
Czynnik est nie osiągnie zerowej wartości w skończonym czasie. Musielibyśmy poczekać do chwili t=. Ostatnią możliwością jest s=0, co prowadzi do jedynego interesującego rozwiązania.
s2L+sR+1C=0
Otrzymaliśmy równanie charakterystyczne układu RLC.

Znajdźmy pierwiastki równania charakterystycznego

Naszym celem jest wyznaczenie wartości s, dla których równanie charakterystyczne jest spełnione. (Chcemy znaleźć pierwiastki równania charakterystycznego.)
Mamy do tego idealne narzędzie, równanie funkcji kwadratowej.
Dla każdego równania kwadratowego w postaci ax2+bx+c=0,
pierwiastki (miejsca zerowe) można wyznaczyć równaniem:
x=b±b24ac2a.
Z równania charakterystycznego możemy wypisać wartości parametrów równania kwadratowego, a=L, b=R, and c=1/C.
s=R±R24L/C2L.
Taką postać przybiera s, czyli częstość charakterystyczna. Żeby zrozumieć, co to oznacza w kontekście naszego układu, musimy je nieco rozbić i przekształcić.
Równanie będzie bardziej przejrzyste, gdy zastąpimy niektóre wyrażenia dwiema nowymi zmiennymi, α i ω0.
α=R2L
ωo=1LC
Teraz podzielimy całe równanie przez L:
s2+RLs+1LC=0,
a następnie wyrazimy nasze równanie za pomocą α i ω0:
s2+2αs+ωo2=0.
Wróćmy do wyrażenia na pierwiastki funkcji kwadratowej, rozpisując mianownik 2L przy każdym wyrazie:
s=R2L±(R2L)2(4L/C4L2).
Drugi wyraz pod pierwiastkiem sprowadza się do:
(4L/C4L2)=(4L/C4L2)=1LC.
Teraz możemy wyrazić s przez α i ω0:
s=α±α2ωo2.
Wspomnieliśmy już, że s jest częstością, czyli musi mieć wymiar 1/t. Oznacza to, że wprowadzone wielkości również opisują jakieś częstości.
  • α nazywamy współczynnikiem tłumienia. Jego wartość determinuje, jak szybko całkowity sygnał zbiega do zera.
  • ω0 to częstość rezonansowa. Określa, jak szybko układ przechodzi przez swoje wewnętrzne oscylacje. Jest to ta sama częstość o której mówiliśmy przy odpowiedzi naturalnej układu LC.

Ulepszone postulowane rozwiązanie

Z równania kwadratowego uzyskaliśmy dwa rozwiązania na s. Nazwiemy je s1 i s2. W rozwiązaniu powinniśmy uwzględnić oba. Ulepszymy więc nasze rozwiązanie, budując je jako kombinację liniową (superpozycję) dwóch osobnych wyrazów wykładniczych z czterema parametrami:
i=K1es1t+K2es2t,
gdzie s1 i s2 to częstości naturalne,
a K1 i K2 to czynniki amplitudowe.

Przykładowy obwód

Elementom obwodu przypiszemy określone parametry tak, by zobaczyć działanie układu na konkretnym przykładzie. Nasz przykładowy obwód wygląda następująco:
Przykładowy obwód odpowiedzi naturalnej RLC. Początkowe napięcie na kondensatorze wynosi 10 V. W początkowej chwili po zamknięciu obwodu przez cewkę nie płynie prąd.
Przypomnijmy równanie różniczkowe układu RLC:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0.
Po wstawieniu rzeczywistych parametrów przyjmuje ono postać:
1d2idt2+2didt+5i=0.
Zakładamy rozwiązanie w postaci i(t)=Kest, tak jak już mamy w zwyczaju.
Analizujemy równanie zgodnie z wcześniejszym opisem. Otrzymamy równanie charakterystyczne układu:
s2+2s+5=0.
Rozwiązujemy równanie charakterystyczne, czyli szukamy pierwiastków funkcji kwadratowej, które mają postać:
s=R±R24L/C2L.
Po wstawieniu rzeczywistych wartości:
s=2±224152,
s=2±4202,
s=1±162,
s=1±j2.
(Elektrotechnicy używają litery j na oznaczenie jednostki urojonej, 1, bo litera i jest zarezerwowana na natężenie prądu.)
Nasze rozwiązanie jest zespolone, tak jak miało to miejsce dla odpowiedzi naturalnej układu LC. Tym razem w rozwiązaniu występuje zarówno część rzeczywista, jak i urojona.
Z równania charakterystycznego otrzymujemy dwa możliwe rozwiązania na s, więc postulujemy rozwiązanie na i w postaci superpozycji dwóch wyrazów wykładniczych:
i=K1e(1+j2)t+K2e(1j2)t.
W wykładnikach znajdują się liczby zespolone. Poprzestawiamy teraz wyrazy, oddzielając od siebie rzeczywiste wykładniki od urojonych:
i=K1e1te+j2t+K2e1tej2t,
a następnie wyciągniemy czynnik e1t przed nawias:
i=et(K1e+j2t+K2ej2t).
Nasze przekształcenia doprowadziły do wyłączenia z części rzeczywistej s wiodącego czynnika w postaci zanikającej funkcji wykładniczej, et.
Wyrażenie w nawiasie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych o urojonych wykładnikach. Z tego typu wyrażeniem spotkaliśmy się rozważając odpowiedź naturalną układu LC. Podobnie jak wtedy, rozpiszemy je posługując się tożsamościami Eulera.

Tożsamości Eulera

Posiłkując się rozwinięciem MacLaurina funkcji ejx, sinjx i cosjx, możliwe jest wyprowadzenie poniższych tożsamości Eulera:
e+jx=cosx+jsinx
i
ejx=cosxjsinx
Oglądając podlinkowany film będziemy mieli na uwadze, że za każdym razem kiedy Sal wspomina o i, ma na myśli nasze j.
Tożsamości Eulera pozwalają nam zmienić specyficzne wyrażenie w postaci e do urojonej potęgi w zwykłą liczbę zespoloną.

Zastosowanie tożsamości Eulera

Zastosujemy tożsamości Eulera, aby przekształcić naszą funkcję
K1e+j2t+K2ej2t
do
K1(cos2t+jsin2t)+K2(cos2tjsin2t).
Po wymnożeniu wszystkich stałych:
K1cos2t+jK1sin2t+K2cos2tjK2sin2t,
oraz zebraniu razem wyrazów z kosinusami i sinusami:
(K1+K2)cos2t+j(K1K2)sin2t.
Niczego nie tracąc, możemy wprowadzić nowe zmienne A, które zastąpią nasze K. Niech A1=(K1+K2) i A2=j(K1K2).
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:
A1cos2t+A2sin2t.
Możemy wstawić je do postulowanego rozwiązania:
i(t)=et(A1cos2t+A2sin2t),
Na razie wszystko idzie jak z płatka. Teraz, odnosząc się do warunków początkowych, ustalimy wartości A1 i A2.

Znajdowanie warunków początkowych

W obwodzie drugiego rzędu, jakim jest układ RLC zadać musimy dwa warunki brzegowe: natężenie prądu i oraz wartość jego pierwszej pochodnej di/dt w chwili zamknięcia obwodu.
Znając wartość i i di/dt w określonej chwili czasu, będziemy mogli wyznaczyć wartości A1 oraz A2.
Znalezienie warunków początkowych dla układu RLC jest bardzo podobne jak dla układu LC. Jedyną różnicą, którą musimy uwzględnić, jest obecność opornika.
Zapiszmy wszystko, co wiemy na temat obwodu w chwili t=0, czyli tuż przed zamknięciem obwodu:
Stan obwodu w chwili tuż przed jego zamknięciem, t=0.
Natężenie prądu wynosi 0, a napięcie początkowe na kondensatorze wynosi vC(0+)=10V.
  • Obwód jest otwarty, więc i(0)=0
  • Początkowe napięcie na kondensatorze jest określone i wynosi vC(0)=V0
Czas tuż po zamknięciu obwodu oznaczymy jako t=0+. Naszym celem jest znalezienie natężenia prądu i jego pochodnej w tej chwili, i(0+) oraz di/dt(0+). Uzbrojeni w wiedzę o tym, jak zachowują się cewki i kondensatory, będziemy w stanie przejść z t=0 do t=0+:
  • Natężenie prądu na cewce nie może zmieniać się w sposób natychmiastowych, więc i(0+)=i(0)=0
  • Napięcie na kondensatorze nie może zmieniać się w sposób natychmiastowy, więc vC(0+)=vC(0)=V0
Stan obwodu w chwili tuż po jego zamknięciu, t=0+. i(0+)=0, a vC(0+)=10V.
Znamy już wartość i(0+)=0, i wiemy coś na temat napięcia, ale jeszcze nie wiemy ile wynosi di/dt(0+).
Postarajmy się znaleźć drugi warunek początkowy, di/dt(0+). Wyraz di/dt zawsze przywodzi mi na myśl charakterystykę i-v cewki. Jeśli uda nam się znaleźć napięcie na cewce, będziemy mogli wyznaczyć di/dt. Zrobimy to na drodze eliminacji.
Równanie prawa Kirchhoffa dla naszej pętli ma postać:
+vLvRvC=0.
Skoro i(0+)=0, to napięcie na oporniku, vR, wynosi 0. Wiemy również, że napięcie na kondensatorze wynosi vC=V0. Wpiszmy te wartości do równania:
vL0V0=0.
Dzięki temu wiemy, że napięcie na cewce w chwili t=0+ jest równe:
vL=V0.
Wróćmy do równania i-v cewki i podstawmy tę wartość.
vL(0+)=Ldidt(0+)
10=1didt(0+)
didt(0+)=10A/sec .
W chwili następującej po zamknięciu obwodu, szybkość zmiany natężenia prądu wynosi 10 amperów na sekundę.

Wyznaczenie A1 i A2 z warunków początkowych

Przypomnijmy sobie postać postulowanego rozwiązania:
i(t)=et(A1cos2t+A2sin2t),
z warunkami początkowymi:
i(0+)=0,
didt(0+)=10.
Możemy znaleźć wartości stałych A rozpisując i w chwili t=0. Wstawmy t=0 i i=0 do naszego rozwiązania:
0=e0(A1cos20+A2sin20),
0=1(A1cos0+A2sin0),
0=(A11+A20),
A1=0.
A1=0, więc wyraz z kosinusem znika z rozwiązania. Postulowane rozwiązanie wygląda teraz następująco:
i(t)=A2etsin2t.
Wartość A2 ustalimy korzystając z drugiego warunku brzegowego.
Potrzebujemy równania zawierającego pochodną i. Gdzie możemy znaleźć taki twór? Może zróżniczkujmy po prostu nasze rozwiązanie?
didt=ddt(A2etsin2t)
Postulowane rozwiązanie jest iloczynem dwóch funkcji. Jego pochodną wyznaczymy ze wzoru na pochodną iloczynu:
(fg)=fg+fg
Określmy czym są funkcje f, g oraz ich pochodne:
f=A2etg=sin2t
f=A2etg=2cos2t
Złóżmy rozwiązanie zgodnie ze wzorem na pochodną iloczynu:
didt=A2etsin2t+A2et2cos2t,
didt=A2et(2cos2tsin2t).
Możemy podstawić wartości, które znamy dla t=0+:
10=A2e0(2cos0sin0),
10=A21(20)=2A2,
A2=5.

Rozwiązanie - natężenie prądu

Zwieńczeniem naszych wysiłków jest rozwiązanie na zależność natężenia prądu od czasu:
i(t)=5etsin2t.
Poniższy wykres przedstawia przebieg i w funkcji czasu:
Odpowiedź naturalna układ RLC. R=2Ω, L=1H i C=15F. Jasne linie oznaczają funkcję ±5et będącą obwiednią zanikającej fali sinusoidalnej.
Po zamknięciu obwodu, natężenie prądu skacze w górę, a jego przebieg kreśli pierwsze maksimum fali sinusoidalnej. Zanika ona szybko po pierwszych kilku wahnięciach. Świadczy to o tym, że układ szybko wytraca energię na drodze ciepła rozproszonego na oporniku, gdy przepływa przez niego prąd - raz w jedną, raz w drugą stronę.
W tym przykładzie widoczna jest rola "tarcia" (odgrywana przez opornik), prowadzącego do szybkiego rozproszenia energii. Gołym okiem widoczna jest jedynie dwukrotna zmiana znaku natężenia prądu, nim zaniknie on do zera.
Trafiliśmy na przykład niedotłumionego rozwiązania. W następnym artykule opiszemy ten termin.

Rozwiązanie - napięcia

Natężenie prądu jest takie samo w każdym punkcie obwodu. Znając postać odpowiedzi naturalnej dla natężenia prądu, możemy wyznaczyć jej postać dla napięć na poszczególnych elementach układu.

Napięcie na oporniku

Do wyznaczenia napięcia na oporniku, skorzystamy z prawa Ohma (pojawia się znak minus, bo kierunek przepływu prądu jest odwrotny względem vR)
vR=iR
vR=5etsin2t2Ω
vR=10etsin2t

Napięcie na cewce

Napięcie cewki wyłania się z jej równania i-v:
vL=Ldidt
vL=1ddt(5etsin2t)
vL=5et(sin2t2cos2t)

Napięcie na kondensatorze

Napięcie na kondensatorze możemy wyznaczyć z równania i-v kondensatora w postaci całkowej (dodatkowy znak minus pojawia się ze względu na odwrotny, względem vC, kierunek przepływu prądu )
vC=1Cidt
vC=11/55etsin2tdt
vC=5et(sin2t+2cos2t)
Wszystkie trzy napięcia przedstawiono na poniższym wykresie:

Podsumowanie

Układ RLC jest elektrycznym odpowiednikiem wahadła z uwzględnieniem tarcia. Zachowanie obwodu opisuje liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Równanie charakterystyczne ma postać:
s2+RLs+1LC=0,
W celu znalezienia pierwiastków równania charakterystycznego, skorzystaliśmy z równania na miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
s=R±R24L/C2L.
Uprościliśmy nieco wyrażenie na s, wstawiając zmienne α i ωo:
s=α±α2ωo2.
gdzie α=R2L i ωo=1LC.
Na koniec rozwiązaliśmy przykładowy obwód, którego elementy wytworzyły prąd, którego natężenie wykazało kilka wahnięć (podobnie jak napięcia na elementach).
Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przyjmować rzeczywiste i urojone wartości, w zależności od wartości α i ωo względem siebie. W kolejnym artykule przybliżymy trzy możliwości zachowania układu:
  • przetłumione, α>ω0, prowadzące do sumy dwóch zanikających eksponent,
  • krytycznie tłumione α=ω0, prowadzące do postaci t zanikająca eksponenta
  • niedotłumione, α<ω0, prowadzące do zanikającej funkcji sinus.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.