Splot funkcji a transformata Laplace'a — film z polskimi napisami

Splot i transformata Laplace'a Teraz, gdy masz już jakieś pojęcie, czym splot jest, mogę wprowadzić Cię do twierdzenia o splocie, przynajmniej w przypadku-są także inne wersje twierdzenia -ale my mówimy o równaniach różniczkowych i transformacie Laplace'a. Zatem to będzie tw. o splocie dla transformaty Laplace'a. Mówi ono, że dla funkcji f(t)-i definiuję jej transformatę Laplace'a F(s). Już to robiliśmy wcześniej. I jeśli mam inną funkcję g(t) i biorę jej transformatę Laplace'a, G(s). Wtedy jeśli spleciemy te dwie funkcje, czyli gdybym wziął f i splótł ja z g, co byłoby inną funkcją t-jak już widzieliśmy Widzieliśmy to w ostatnim filmie Splotłem sinus i cosinus. To będzie funkcja t. Wtedy transformata Laplace'a tego-i to jest klucz twierdzenia-transformata Laplace'a splotu będzie równa iloczynowi ich transformat Laplace'a. Tzn. równa się F(s) razy G(s). To może wydawać się bardzo abstrakcyjne i trudne to opanowania teraz dla Ciebie. Więc zróbmy przykład. Albo nawet lepiej, zróbmy odwrotną transf. Laplace'a z przykładem. Właściwie, napiszmy jeszcze jedną rzecz. Jeśli tw. jest prawdziwe, możemy zrobić to inaczej. f-napiszę wszystko na żółto; zmienianie kolorów trwa za długo- że splot f z g, to funkcja t, mogę powie- dzieć, że to odwrotna transformata Laplace'a. To po prostu odwrotna transformata Laplace'a F(s) razy G(s). Chociaż nie mogłem się powstrzymać-zmieńmy kolor. ... Właśnie tak. Jak to nam pomaga? Cóż, możemy wziąć odwrotną transformatę Laplace'a. Powiedzmy, że mam-napiszmy-za- łóżmy, ze powiedziałem że następujące wyrażenie H(s)-napiszę to w ten sposób-H(s) jest równe 2s przez s kwadrat plus 1. Rozwiązaliśmy to długie równianie różniczkowe i otrzymaliśmy to. Musimy jeszcze wziąć odwrotną transformatę Laplace'a tego wy- rażenia. Więc chcemy znaleźć odwrotną transformatę Laplace'a H(s), czyli odwrotną transformację Laplace'a tego wyrażenia, Więc chcemy znaleźć odwrotną transformatę Laplace'a tego wyrażenia, 2s podzielone przez 1+s^2. Nie chcę tego zgubić. Właśnie tak. Teraz, czy możemy zapisać to jako iloczyn dwóch transformat, które znamy? Spróbujmy to zrobić. Możemy to przepisać. I to jest odwrotna transformata Laplace'a Pozwólcie, że przepiszę to poniżej. Zatem mogę przepisać 2s/(1+s^2) To jest to samo, co-napiszę to w ten sposób 2 razy 1 przez s^+1, razy s przez s^+1. Po prostu podzieliłem to. Jeśli wymnożysz liczniki, dostaniesz 2 razy 1 razy s lub 2s. Jeśli wymnożysz mianowniki, s^2 plus 1, razy s^2+1, cóż, to po prostu (s^2+1)^2. Zatem to jest to samo. Więc jeśli chcemy wziąć odwrotną transf. Laplace'a tego, to jest to samo, co wzięcie odwrotnej transf. Lapace'a. tego tutaj. Teraz-miejmy nadzieję- coś powinno Ci już świtać. Jeśli to byłyby oddzielne transformaty, wiedzielibyśmy, co to jest. Jeśli nazwiemy to F(s), jeśli powiedzielibyśmy że to transformata Laplace'a jakiejś funkcji wiemy jaka to funkcja. To właśnie to tu. Zrobię kropkowaną linię nad nią. To jest transformata Lanplac'a sinusa t. I jeśli narysujemy małe pudełko dookoła, to jest transformata Laplace'a cosinusa t, G(s). Więc to jest transformata Laplace'a sin(t) lub możemy napisać, że to implikuje, że f(t) jest równe sinus t. Powinieneś już to poznać. I to implikuje, że g(t), jeśli zdefiniujemy to jako transf. L. g, to znaczy, że g(t) jest równe cosinus t. I, oczywiście, gdy bierzesz odwrotną tr. L., możesz wziąć dwójki na zewnątrz. Więc, co teraz możemy powiedzieć? Możemy powiedzieć, że-napiszę to w ten sposób- odwrotnie-napiszę to w ten sposób Lub, właściwie, lepiej, zamiast brać dwójki na zewnątrz, mogę zostawić to schludnie, możemy, jeśli narysujemy pudełko dookoła i zdefiniujemy to jako F(s), to jest to transformata Laplace'a 2*sin(t). Po prostu chciałem włączyć tę dwójkę. Nie chciałem jej zostawiać i zaciemniać sprawy. Chciałem mieć dokładnie F(s)*G(s). To wyrażenie tutaj jest iloczynem transformat Laplace'a 2*sin(t) i transformaty Laplace'a cos(t). Teraz, nasze twierdzenie o splocie mówiło dokładnie to. Czyli jeśli chcemy wziąć odwrotną tr. L. z tr. L. 2 funkcji-wiem że to brzmi dziwnie-ale dopasowujesz do wzorca. Mówisz, OK, zobacz, to, co miałem tutaj, mogłem zapisać to jako iloczyn 2 transformat Laplace'a, które rozpoznaję. To tutaj, jest transformatą Laplace'a 2 sin(t). To jest transformata cos(t). I to napisaliśmy jako G(s) i F(s). Więc jeśli mam wyrażenie, jak to, mogę wziąć odwrotną transformatę Laplace'a i to będzie równe splotowi oryginalnych funkcji. To będzie równe splotowi funkcji odwrotnych do g i do f. Pozwólcie napisać to tak. Mogłem też napisać to tak. Wiemy, że f(t) jest równe odwrotnej transformacie Laplace'a F(s). I wiemy, że g-powinienem napisać to innym kolorem, ale napiszę g na zielono-wiemy, że g(t) jest równe odwrotnej transformacie L. G(s) Więc możemy przepisać tw. o splocie dla trans. odwrotnej- i to może wydawać się jako utrudnienie niż ułatwienie, ale postaram się. Odwrotna transformata Laplace'a-postaram się używać stałych kolorów-F(s) razy G(s) jest równe-ja tylko parafrazuję tutaj tw. o splocie. To jest równe splotowi odwrotnych transformat F(s). Więc to jest równe splotowi odwrotnych transformat F(s) z odwrotną transformatą G(s). Z odwrotną transformatą -wielkie G- G(s). Nie jestem pewny czy to pomaga, czy nie, ale jeśli cofniesz się do tego przykładu, to tak będzie. To jest F(s). 2 razy-napiszę to jasnym niebieskim-to jest 2 podzielone przez s^2+1. To jest F(s) w naszym przykładzie. I G(s) to było s przez s^2+1. Dostałem to, przez podzielenie tego na 2 części, które rozpoznaję. Jeśli pomnożę je razem, to dostanę wyjściowe wyrażenie, którego transformatę chcę wziąć. Zatem tw. o splocie mówi, że, ok, cóż, odwrotna transformata Lalpace'a tego jest równa odwrotnej tr. L. 2 przez s^2+1, splecione z odwrotną transformatą L. naszego G(s) czyli s przez s^2+1. I teraz wiemy, czym one są. Już powiedziałem Ci, co to jest, ale one powinny być drugą naturą. To jest 2 razy sin(t). ... Bierzesz transformatę Laplace'a sin(t), dostajesz 1 przez s^2+1. Potem mnożysz to przez 2, dostajesz to 2 tutaj. I będziesz musiał spleść to z odwrotną transformatą Laplace'a tego tutaj. A to już zrobiliśmy. To jest cos(t). ... Więc nasze wyniki dotychczas-niech będzie jasne. Zawsze jest dobrze spojrzeć do tyłu i pomyśleć, co robimy, i dlaczego. Ale zobaczmy, odwrotna transformata Laplace'a tego tutaj w górnym rogu, 2s przez (s^2+1)^2 które, zanim robiliśmy to, co teraz, było bardzo trudne-właściwie niech to będzie falisty nawias tutaj, ale rozumiesz ideę- jest równy 2 sin(t) splecione z cos(t). I teraz możesz powiedzieć, Sal przez ten cały proces, już zapomniałem, co oznacza splot dwóch funkcji, więc splećmy je. Po prostu napiszę definicję, lub definicję którą używamy do splotu. To f splecione z g-to będzie funkcja g. Napiszę to skrótowo-jest równe całce od 0 do t, z f(t-tau)-g(tau) dtau. Więc 2 sin(t) splecione z cos(t) jest równe -niech wezmę neutralny kolor-całce od 0 do t z 2 sin(t-tau) razy cos(tau) dtau. Teraz, jeśli obejrzaleś ostatni film, który zrobiłem, rozwiązałem to lub rozwiązałem coś bardzo podobnego. Jeśli wezmę 2 na zewnątrz dostajemy 2 razu całka od 0 do t sin t-tau razy cos(tau). Właściwie rozwiązałem to w poprzednim filmie. To tutaj jest splotem sin(t) z cos(t). To jest sin(t) spleciony z cos(t). I pokazałem Ci w poprzednim filmie, gdzie wprowadzam splot, że to tutaj jest równe 1/2*sin(t). Teraz, jesli to tutaj jest równe 1/2*sin(t) i mam to pomnożyć przez 2, to dostajemy nasz rezultat, że odwrotna tr. L. 2s przez (s^2+1)^2 jest równa splotowi 2 sin(t) z cos(t). Które jest 2 razy to tutaj, czyli 2 razy 1/2-kasują się-więc to równa się t*sin(t). Gdy nauczysz się, jak to się robi, nie będziesz musiał robić tych wszystkich kroków. Ale kluczem jest rozpoznanie, że to można rozbić na iloczyn 2 transformat, które już rozpoznajesz. To może być rozbite na iloczyn 2 transformat, które rozpoznajemy. To jest transformata Laplace'a 2 sin t. To była transformata Laplace'a cos(t). Więc odwrotna transformata naszego oryginalnego wyrażenia, jest po prosto splotem tego z tym. I jeśli obejrzałeś poprzedni film, zdajesz sobie sprawę, że obliczenie splotu nie jest proste, ale można to zrobić. Właściwie możesz dostać postać całkową. Nawet jeśli nie możesz tego scałkować, przynajmniej masz odpowiedź jako pewna całka. Więc nie udowodniłem jeszcze tw. o splocie. Zrobię to w przyszłym filmie. Ale mam nadzieję, że to choć trochę Ci pomogło, w braniu odwrotnej transformaty Laplace'a. I pamietaj,że powód, dla którego uczymy się brać odwrotna transformatę Laplaca i mieć te wszystkie narzedzia, jest taki, że to zawsze ostatni krok w rozwiązywaniu r.r. używając t. L.