Metoda nieokreślonych współczynników 3 — film z polskimi napisami

Rozwiążmy teraz następny przykład niejednorodnego liniowego równania różniczkowego ze stałymi współczynnikami. Lewa strona równania będzie taka sama jak robiliśmy ostatnio. Druga pochodna y minus 3 razy pierwsza pochodna minus 4 razy y równa się -- i teraz zamiast funkcji wykładniczej czy funkcji trygonometrycznych będziemy mieli coś prostego, cóż ten wyraz to będzie po prostu x do kwadratu, ale w ogólności chodzi nam o wielomiany. Prawda? I ty wiesz jak znaleźć ogólne rozwiązanie dla jednorodnego równania, czyli jeżeli tu jest 0. A więc skupimy się teraz tylko na rozwiązaniu szczególnym, następnie dodamy je do rozwiązania ogólnego jednorodnego równania, aby otrzymać rozwiązanie. A więc co by mogło być dobrym przypuszczeniem aby uzskać rozwiązanie szczególne? Cóż, kiedy mieliśmy funkcje ekspotencjalną, to przewidywaliśmy, że nasze rozwiązanie będzie funkcją ekspotencjalną. Kiedy mieliśmy funkcje trygonometryczne przewidywaliśmy, że nasze rozwiązanie będzie funkcją trygonometryczną. A więc skoro to wielomian sprawia że to równanie różniczkowe jest niejednorone, przypuśćmy że nasze rozwiązanie szczególne jest wielomianem. I to ma sens. Jeżeli weźmiesz wielomian 2 stopnia i policzysz pochodne i dodasz czy odejmiesz, powinieneś mieć nadzieję, że otrzymasz inny wielomian drugiego stopnia. A więc przypuścimy, że to jest Ax do kwadratu plus Bx plus C. I jaka będzie druga pochodna? Cóż, druga pochodna będzie wynosiła 2Ax plus B. Przepraszam, to będzie pierwsza pochodna. Druga pochodna będzie wynosiła 2A. I teraz możemy podstawić to spowrotem do wyjściowego równania. Otrzymujemy drugą pochodną, 2A minus 3 razy pierwsza pochodna. Więc minus 3A -- och nie, przepraszam. Minus 3 razy to. Więc minus 6Ax minus 3B minus 4 razy sama funkcja. Czyli minus 4Ax do kwadratu minus 4Bx minus 4C. To po prostu 4 razy to wszystko. To będzie równe 4x do kwadratu. I teraz pogrupuje wyrazy z x do kwadratu,wyraz z x, oraz stałe i wtedy będziemy mogli spróbować rozwiązać to dla współczynników. Zobaczmy. Mam jeden wyraz z x do kwadratu tutaj. Czyli to jest minus 4Ax do kwadratu. Następnie gdzie są moje wyrazy z x? Mam minus 6Ax minus 4Bx. Czyli mogę napisać minus 6A minus 4B razy x. Po prostu dodałem współczynniki. I na koniec dostaliśmy nasze stałe. 2A minus 3B minus 4C I teraz to wszystko będzie równe 4x do kwadratu. I teraz jak rozwiążemy to dla A, B i C? Cóż, suma współczynników stojących przy x do kwadratu po tej stronie, powinna równać się 4. Suma współczynników przy x po tej stronie, powinna być równa 0, prawda? Ponieważ możemy patrzeć na to jako plus 0x, prawda? Następnie mógłbyś powiedzieć, że tak samo dodajesz stałą 0. Tak więc stałe też powinny sumować się do zera. A więc zróbmy to. Na początku zajmijmy się wyrazami z x do kwadratu. Czyli minus 4A powinno być równe 4. I na podstawie tego wiemy, że A równa się minus 1. No dobrze. Teraz wyrazy z x. Minus 6A minus 4B to powinno być równe 0. Prawda? Zapiszemy to więc. Wiemy jakie jest A, więc podstawmy je. Czyli minus 6 razy A, czyli minus 6 razy minus 1. Więc to jest: 6 minus 4B równa się 0. Otrzymaliśmy więc 4B -- przenoszę po prostu 4B na drugą stronę i zamieniam je miejscami. 4B równa się 6. I B równa się -- 6 dzielimy przez 4 i to jest 3/2. I w końcu stałe, które też powinny równać się zero, więc rozwiążmy to dla nich. 2 razy A, to jest minus 2. Minus 3 razy B. Cóż, to jest minus 3 razy to. Czyli minus 9/2 minus 4C równa się zero. Zobaczmy więc. Nie chciałbym zrobić jakiego błędu przez nieuwagę. A więc to jest minus 4 minus 9 przez 2, prawda? To jest minus 4/2 minus 9/2 -- i możemy przenieść 4C na drugą stronę-- równa się 4C. Ile to jest minus 4 minus 9? To jest minus 13/2. Minus 13/2 równa się 4C. 4C, podzielę obie strony przez 4, i następnie otrzymamy C równa się minus 13/8. I myślę że nie zrobiłem błędów wynikających z nieuwagi. Więc jeżeli nie, wtedy znamy już nasze rozwiązanie szczególne. Cóż a więc zapiszę całe rozwiązanie. Więc. Zapiszmy więc nasze rozwiązanie. Nasze rozwiązanie będzie równe rozwiązaniu szczególnemu, które wynosi Ax do kwadratu, czyli to jest minus 1x do kwadratu. Ax do kwadratu plus Bx plus 3/2 x plus C minus 13/8. A więc to jest rozwiązanie szczególne. Rozwiązaliśmy dla A, B i C. Określiliśmy nieokreślone współczynniki. I teraz jeżeli chcemy rozwiązanie ogólen, dodajemy to tego rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Jakie ono było? Druga pochodna y minus 3 razy pochodna y minus 4y równa się 0. Rozwiązywaliśmy to już wiele razy. I wiemy że rozwiązanie ogólne tego jednorodnego równania jest C1e do 4x plus C2 do minus x, prawda? Znajdujesz po prostu równanie charakterystyczne r do kwadratu minus 3r minus 4. Co otrzymasz? Otrzymasz r minus 4 razy r plus 1, i w ten sposób otrzymujesz minus 1 i 4. Tak czy inaczej. Więc jeżeli to jest rozwiązanie ogólne jednorodnego równania, a to jest rozwiązanie szczególne tego równania niejednorodnego. To rozwiązanie ogólne tego niejednorodnego równania będzie równe ich sumie. A więc dodajmy je do siebie. Więc plus C1e do 4x plus C2e do minus x. A więc proszę. Sądzę, że to nie było takie trudne. Najtrudniejszą częścią było upewnianie się, żeby nie zrobić żadnych błędów rachunkowych. Jednak używając dość prostych, tak naprawdę zwykłych działań algebraicznych, jesteśmy w stanie otrzymać całkiem eleganckie rozwiązanie dla tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego ze stałymi współczynnikami. Do zobaczenia w następnym video.