If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Czym są wzory kinematyczne?

Przedstawiamy najważniejsze równania, którymi posłużysz się, by analizować ruch ze stałym przyspieszeniem.

Czym są wzory kinematyczne?

Wzory kinematyczne to zestaw równań, które odnoszą się kinematyki, to znaczy do sytuacji, a której badamy ruch, ale nie zastanawiamy się nad jego przyczyną. Wzory kinematyczne wiążą ze sobą pięć podanych poniżej wielkości fizycznych:
ΔxPrzemieszczenie
tPrzedział czasu 
v0  Prędkość początkowa 
v   Prędkość końcowa 
a  Stałe przyśpieszenie 
Jeśli mamy dane trzy z tych pięciu zmiennych kinematycznych - Δx,t,v0,v,a - dla obiektu ze stałym przyśpieszeniem, możemy wykorzystać wzory (pokazane poniżej), żeby obliczyć jedną szukaną zmienną.
Wzory kinematyczne, często są zapisywane jako następujące cztery równania.
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
Ponieważ równania kinematyczne mają zastosowanie tylko wtedy, gdy przyśpieszenie jest stałe w rozpatrywanym przedziale czasu, musimy uważać żeby nie stosować ich kiedy przyśpieszenie się zmienia. Równania kinematyczne, zakładają również że wszystkie zmienne odnoszą się do tego samego kierunku i zwrotu: poziomy x, pionowy y, etc.

Czym jest spadek swobodny (np. pocisku) ?

Mogłoby się wydawać, że skoro wzory kinematyczne dotyczą tylko ruchu ze stałym przyspieszeniem, ich użycie jest mocno ograniczone. Okazuje się jednak, że jedna z najbardziej powszechnych form ruchu, spadek swobodny, powodowana jest właśnie przez stałe przyspieszenie.
Wszystkie swobodnie spadające przedmioty na Ziemi, niezależnie od ich masy, mają stałe przyspieszenie skierowane w dół, będące wynikiem działania grawitacji. Jego wartość jest równa g=9,81ms2.
g=9,81ms2(wartość przyspieszenia będącego efektem siły grawitacji)
Swobodnie spadające ciało to obiekt, którego przyspieszenie powodowane jest tylko przez siłę grawitacji. Zazwyczaj zakładamy, że opór powietrza jest na tyle niewielki, że możemy go pominąć w obliczeniach, co oznacza, że jakikolwiek upuszczony przedmiot czy np. wystrzelony pocisk porusza się ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół i wartością g=9,81ms2.
Gdy się nad tym zastanowimy, to jest to zarówno dziwne jak i bardzo wygodne. To dziwne, ponieważ oznacza to, że duży głaz będzie przyspieszał w takim samym tempie jak mały kamień, a jeśli upuścimy je z tej samej wysokości, to uderzą w ziemię w tym samym czasie.
Jest to natomiast o tyle wygodne, że w obliczeniach nie musimy znać masy - wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem g=9,81ms2 bez względu na ich masę - tak długo jak opór powietrza jest pomijalnie mały
Zauważ, że g=9,81ms2 jest jedynie wartością przyspieszenia ziemskiego. Jeżeli kierunek w górę wybieramy jako dodatni, musimy przyjąć wartość przyśpieszenia ziemskiego dla pocisku ze znakiem minus ay=9,81ms2, kiedy podstawiamy ją do równania kinematycznego.
Ostrzeżenie: Kiedy używamy równań kinematycznych, zapominanie o uwzględnieniu znaku minus jest jednym z najczęstszych źródeł błędów.

Jak stosować równania kinematyki?

Należy dobierać wzór w ten sposób, by zawierał zarówno nieznaną nam zmienną, jak i pozostałe trzy zmienne, które już znamy. Dzięki temu, będziemy w stanie wyliczyć szukaną zmienną będącą jedyną nieznaną wartością w równaniu.
Na przykład: powiedzmy że książka leżąca na ziemi została kopnięta na wprost z prędkością początkową v0=5 m/s, po czym w ciągu t=3 s przesunęła się o Δx=8 m. Moglibyśmy skorzystać z równania Δx=v0t+12at2, żeby obliczyć nieznaną wartość przyśpieszenia książki (zakładając że przyśpieszenie było stałe), ponieważ znamy każdą inną zmienną w tym równaniu (Δx,v0,t) oprócz a.
Wskazówka: Zauważ, że w każdym równaniu brakuje jednej z pięciu zmiennych—Δx,t,v0,v,a.
1.v=v0+at(W tym równaniu brakuje Δx.)
2.Δx=(v+v02)t(W tym równaniu brakuje a.)
3.Δx=v0t+12at2(W tym równaniu brakuje v.)
4.v2=v02+2aΔx(W tym równaniu brakuje t.)
Aby wybrać, które równanie kinematyczne jest odpowiednie dla rozwiązania Twojego problemu, ustal których zmiennych nie podano, i nie trzeba ich wyznaczać. Na przykład w powyższym zadaniu prędkość końcowa książki v nie była podana, ani o nią nie pytano - mogliśmy więc zastosować równanie nie zawierające prędkości v. W równaniu Δx=v0t+12at2 nie występuje v, więc jest to właściwe równanie do wyznaczenia a.

Jak wyprowadzić pierwsze równanie kinematyki, v=v0+at ?

Ten wzór kinematyczny jest prawdopodobnie najłatwiejszy do wyprowadzenia, ponieważ tak naprawdę jest to jedynie przekształcona wersja definicji przyśpieszenia. Możemy zacząć od definicji przyśpieszenia,
Teraz możemy zamienić Δv na definicje przyrostu prędkości vv0.
a=vv0Δt
Na koniec, jeśli wyznaczymy v otrzymujemy
v=v0+aΔt
i jeśli zgodzimy się używać t zamiast Δt, otrzymujemy pierwsze równanie kinematyki.
v=v0+at

Jak wyprowadzić drugie równanie kinematyczne, Δx=(v+v02)t?

Dobrym sposobem by zobrazować sobie wyprowadzenie tego wzoru jest rozważenie wykresu prędkości obiektu ze stałym przyspieszniem, innymi słowy ze stałym nachyleniem i prędkością początkową v0, tak jak pokazano na wykresie poniżej.
Pole powierzchni pod wykresem prędkości jest zawsze równe przemieszczeniu Δx. Stąd wynika, że pole powierzchni pod tym wykresem prędkości jest równe przemieszczeniu Δx obiektu.
Δx= całkowite pole
Dla uproszczenia, możemy rozbić ten obszar na niebieski prostokąt i czerwony trójkąt, tak jak pokazano na powyższym wykresie.
Wysokość niebieskiego prostokąta jest równa v0, szerokość jest równa t, więc pole niebieskiego prostokąta jest równe v0t.
Podstawa czerwonego trójkąta jest równa t, wysokość jest równa vv0, więc pole czerwonego trójkąta jest równe 12t(vv0).
Pole całkowite, będzie sumą pól niebieskiego prostokąta i czerwonego trójkąta.
Δx=v0t+12t(vv0)
Jeśli przemnożymy 12t przez nawias to dostaniemy
Δx=v0t+12vt12v0t
Możemy uprościć równanie grupując wyrazy zawierające v0
Δx=12vt+12v0t
Ostatecznie, zwijając wyrazy prawej strony pod nawias, otrzymujemy drugie równanie kinematyczne.
Δx=(v+v02)t
To równanie jest o tyle interesujące, że gdy podzielimy obie strony przez t otrzymamy Δxt=(v+v02). Możemy z tego wyczytać, że prędkość średnia Δxt jest równa średniej końcowej i początkowej prędkości v+v02. Należy jednak pamiętać, że wzór ten jest prawdziwy tylko dla ruchu ze stałym przyspieszeniem, ponieważ został wyprowadzony z wykresu prędkości od czasu, który miał stałe nachylenie (przyspieszenie).

Jak wyprowadzić trzecie równanie kinematyczne, Δx=v0t+12at2?

Są dwa sposoby na wyprowadzenie trzeciego równania kinematycznego Δx=v0t+12at2. Jedno z nich to całkiem zgrabne wyprowadzenie geometryczne, drugie natomiast jest nieco bardziej skomplikowane i wymaga większej pracy z algebrą. Najpierw zajmiemy się tym pierwszym, zgrabnym.
Rozważmy obiekt, który rusza ze stałą prędkością v0 i utrzymuje stałe przyśpieszenie do prędkości końcowej v, tak jak pokazano na poniższym wykresie.
Ponieważ pole pod wykresem prędkości oznacza przemieszczenie Δx, oba wyrażenia po prawej stornie równania Δx=v0t+12at2, przedstawiają pole na powyższym wykresie.
Wyrażenie v0t przedstawia pole niebieskiego prostokąta, ponieważ Pprostokąta=hw.
Wyrażenie 12at2 przedstawia pole czerownego trójkąta, ponieważ Ptrójkąta=12bh.
To jest to. Wzór Δx=v0t+12at2 jest prawdziwy ponieważ pole figury pod wykresem jest równe przemieszczeniu. Założyliśmy, że wykres prędkości jest linią prostą , dlatego mogliśmy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta. W związku z tym, to równanie kinematyczne jest prawdziwe (podobnie jak pozostałe) jedynie przy założeniu, że przyspieszenie jest stałe.

Oto alternatywne wyprowadzenie metodą podstawiania. Trzecie równanie kinematyczne możemy wyprowadzić przez podstawienie pierwszego równania kinematycznego v=v0+at, do drugiego równania kinematycznego Δxt=v+v02.
Jeśli weźmiemy drugie równanie kinematyczne
Δxt=v+v02
i za v wstawimy v0+at, otrzymamy
Δxt=(v0+at)+v02
Możemy rozwinąć prawą stronę
Δxt=v02+at2+v02
Uproszczenie wyrażeń v02 po prawej stronie równania daje nam
Δxt=v0+at2
Na końcu mnożymy obie strony przez t i otrzymujemy trzecie równanie kinematyczne
Δx=v0t+12at2
Ponownie wykorzystaliśmy inne równania kinematyczne, które wymagały stałego przyśpieszenia, dlatego trzecie równanie kinematyczne także jest prawdziwe tylko przy założeniu, że przyśpieszenie jest stałe.

Jak wyprowadzić czwarte równanie kinematyczne, v2=v02+2aΔx?

Zacznijmy od drugiego równania:
Δx=(v+v02)t
Chcemy wyeliminować t z tego równania. W tym celu wyznaczamy z pierwszego równania kinematyki v=v0+at czas. Otrzymujemy t=vv0a. Jeśli podstawimy tak otrzymane wyrażenie jako t do drugiego równania kinematyki otrzymamy
Δx=(v+v02)(vv0a)
Mnożąc ułamki po prawej stronie otrzymujemy
Δx=(v2v022a)
Wyznaczając z tego równania v2 otrzymujemy czwarte równanie kinematyczne
v2=v02+2aΔx

Co w równaniach kinematyki jest mylące?

Ludzie często zapominają o tym, że równania kinematyczne są prawdziwe tylko przy założeniu, ze przyspieszenie jest stałe w rozpatrywanym przedziale czasowym
Czasem wartości zmiennych nie są podane wprost, a raczej szyfrem. Na przykład "ruszyć z miejsca" oznacza v0=0, "puszczono" często oznacza v0=0, a "zatrzymać się" rozumiemy jako v=0. Przyjmuje się również, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g=9,81ms2, dlatego zazwyczaj wartość przyspieszenia z jakim ciała spadają swobodnie nie jest podawana.
Ludzie często zapominają o tym, że wszystkie zmienne występujące w równaniach kinematycznych:Δx,vo,v,a poza t mogą przyjmować wartości ujemne. Brak minusa jest bardzo powszechnym źródłem błędów. Jeśli zwrot w górę jest przyjęty jako dodatni - przyspieszenie ciała lecącego swobodnie musi mieć ujemną wartość ag=9,81ms2.
Trzecie równanie kinematyczne, Δx=v0t+12at2, może wymagać rozwiązania równania kwadratowego - zobacz przykład 3 rozwiązany poniżej.
Ludzie często zapominają, że jeżeli wybiorą dowolny przedział czasowy wielkości zmienne które wstawiamy do równań kinematycznych muszą być spójne z tym przedziałem czasowym. Innymi słowy, prędkość początkowa v0 i położenie początkowe musi być prędkością ciała i jego położeniem w chwili rozpoczęcia tego przedziału czasu t. Podobnie prędkość końcowa v i położenie końcowe są określane dla końca analizowanego przedziału czasu t

Jak wyglądają rozwiązane przykłady z równaniami kinematycznymi?

Przykład 1: Pierwsze równanie kinematyki, v=v0+at

Balon wypełniony wodą, jest upuszczony z bardzo wysokiego budynku.
Jaka jest prędkość balonu z wodą, po opadaniu przez t=2,35 s?
Zakładając, że zwrot w górę jest dodatni, wielkości które znamy przyjmują wartości:
v0=0 (Ponieważ w chwili upuszczenia balon był w spoczynku)
t=2,35 s (Ponieważ chcemy znaleźć wartość prędkości po tym czasie)
ag=9,81ms2(Sugeruje to spadek swobodny balonu.)
W tej sytuacji ruch odbywa się w pionie, dlatego będziemy używać jako zmiennej położenia y zamiast x. Symbol który wybieramy tak naprawdę nie ma znaczenia, pod warunkiem że jesteśmy konsekwentni w wyborze, ale oś pionową zwykle zaznaczamy w ten sposób.
Ponieważ nie znamy przemieszczenia Δy i nie pytano nas o przemieszczenie Δy - wykorzystamy pierwsze równanie kinematyki v=v0+at (w którym Δy nie występuje).
v=v0+at(Użyj pierwszego równania kinematyki, ponieważ nie zawiera Δy.)
v=0 m/s+(9,81ms2)(2,35 s)(Podstaw znane wartości)
v=23,1 m/s(Obliczasz i gotowe !)
Uwaga: Prędkość końcowa jest ujemna, ponieważ balon z wodą poruszał się w dół.

Przykład 2: Drugie równanie kinematyki, Δx=(v+v02)t

Leopard biegnie z prędkością 6,20 m/s a po ujrzeniu mirażu, który przybrał formę ciężarówki z lodami zwiększył prędkość do 23,1 m/s w czasie 3,3 s.
Jaki dystans pokonał leopard podczas zwiększania prędkości z 6,2 m/s do 23,1 m/s ?
Zakładając, że początkowy kierunek ruchu jest dodatni, znane wielkości przyjmują wartości
v0=6,20m/s (Prędkość początkowa leoparda)
v=23,1m/s (Prędkość końcowa leoparda)
t=3,30 s (Czas jaki zajęło leopardowi przyspieszanie)
Ponieważ nie znamy przyspieszenia a i nie interesuje nas jego wartość, użyjemy drugiego równania kinematycznego Δx=(v+v02)t, w którym nie występuje a.
Δx=(v+v02)t(Użyj drugiego równania kinematycznego, ponieważ nie ma w nim a.)
Δx=(23,1 m/s+6,20 m/s2)(3,30 s)(Podstaw znane wartości)
Δx=48,3 m(Obliczasz i gotowe)

Przykład 3: Trzecie równanie kinematyki, Δx=v0t+12at2

Uczeń jest rozdrażniony rozwiązywaniem pracy domowej z kinematyki, dlatego rzuca swój ołówek pionowo w górę z prędkością 18,3 m/s.
Ile czasu zajmie, zanim ołówek osiągnie wysokość 12,2 m powyżej poziomu z którego został wyrzucony?
Zakładając, że zwrot w górę jest dodatni, wielkości które znamy przyjmują wartości:
v0=18,3 m/s (ponieważ była to początkowa prędkość skierowana w górę)
Δy=12,2 m (ponieważ chcemy wyznaczyć czas w którym ołówek wykonał takie przemieszczenie)
a=9,81 m s2 (ponieważ ołówek jest ciałem spadającym swobodnie)
Ponieważ nie znamy prędkości końcowej v i nie byliśmy proszeni o jej wyznaczenie, skorzystamy z trzeciego równania kinematyki dla kierunku pionowego Δy=v0yt+12ayt2, w którym nie występuje v.
Δy=v0yt+12ayt2(zacznij od trzeciego równania kinematyki)
Zazwyczaj rozwiązujemy nasze wyrażenie algebraicznie względem zmiennej którą chcemy obliczyć, ale to równanie kinematyczne nie może być rozwiązane algebraicznie względem czasu, jeżeli żadna ze zmiennych nie jest równa zeru. Jest tak, ponieważ kiedy żadna ze zmiennych nie jest równa zeru oraz czas t jest nieznany, równanie staje się równaniem kwadratowym. Możemy to zobaczyć podstawiając znane wartości do wzoru.
12,2 m=(18,3 m/s)t+12(9,81 m s2)t2(podstaw znane wartości)
Żeby przedstawić to w bardziej przystępnej formie równania kwadratowego, przenosimy wszystko na jedna stronę równania. Odejmując obustronnie 12,2 m otrzymujemy
0=12(9,81 m s2)t2+(18,3 m/s)t12,2 m(zapisz wyrażenie w postaci równania kwadratowego)
Na tym etapie rozwiązujemy równanie kwadratowe względem czasu t. Rozwiązania równania kwadratowego w postaci at2+bt+c=0, wyznaczamy za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego t=b±b24ac2a. W naszym równaniu, zmienne są równe odpowiednio a=12(9,81 m s2), b=18,3 m/s, c=12,2 m.
Tak więc podstawiając wartości do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego otrzymujemy
t=18,3 m/s±(18,3 m/s)24[12(9,81 m s2)(12,2 m)]2[12(9,81 m s2)]
Ponieważ we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego jest znak "plus-minus" - otrzymujemy dwie wartości czasu t: pierwszą, gdy wstawiamy znak + i drugą, gdy wstawiamy znak . Rozwiązaniem powyższego równania kwadratowego są dwie wartości czasu:
t=0,869 s i t=2,86 s
Otrzymujemy dwa dodatnie rozwiązania, ponieważ mamy dwa czasy po których ołówek osiąga wysokość 12,2 m. Mniejsza wartość odnosi się do czasu który był wymagany żeby ołówek po raz pierwszy osiągnął wysokość (przemieszczenie w pionie) 12,2 m. Większa wartość odnosi się do czasu który był wymagany żeby ołówek poleciał w górę, przeleciał przez wysokość 12,2 m, osiągnął wysokość maksymalną a następnie opadając, ponownie osiągnął wysokość 12,2 m.
Aby znaleźć odpowiedź na nasze pytanie: "ile czasu potrzeba, żeby ołówek osiągnął wysokość 12,2 m powyżej poziomu z którego został wyrzucony?" powinniśmy wybrać mniejszą wartość czasu t=0,869 s

Przykład 4: Czwarte równanie kinematyki, v2=v02+2aΔx

Motocyklista porusza się z prędkością równą 23,4 m/s. Widząc przed sobą korek decyduje się zwolnić na odcinku 50,2 m, ze stałą wartością przyśpieszenia równą 3,20 m s2. Przyjmij, że motocyklista podczas całego ruchu porusza się na wprost.
Jaka jest prędkość motocyklisty po tym, gdy zwalniał na odcinku równym 50,2 m?
Zakładając, że początkowy kierunek ruchu jest dodatni, znane wielkości przyjmują wartości
v0=23,4 m/s (Początkowa prędkość motocyklisty)
a=3,20 m s2 (Przyspieszenie jest ujemne, ponieważ motocyklista zwalnia, a zwrot "do przodut" przyjęliśmy za dodatni)
Δx=50,2 m (Chcemy wyznaczyć prędkość motocyklisty po przebyciu tego odcinka)
Ponieważ nie znamy czasu ruchu t i nie byliśmy proszeni o jego wyznaczenie, skorzystamy z czwartego równania kinematyki dla kierunku wzdłuż osi poziomej vx2=v0x2+2axΔx.w którym nie występuje czas t.
vx2=v0x2+2axΔx(rozpocznij od czwartego równania kinematyki)
vx=±v0x2+2axΔx(wyznaczamy algebraicznie prędkość końcową)
Zwróć uwagę, że jeżeli wyciągasz pierwiastek kwadratowy - otrzymujesz dwie możliwe odpowiedzi (dodatnia lub ujemną). Ponieważ nasz motocyklista nadal będzie jechał w tym samym kierunku w którym rozpoczął jazdę oraz założyliśmy, że ten kierunek jest dodatni, wybierzemy odpowiedź dodatnią vx=+v0x2+2axΔx.
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
vx=(23,4 m/s)2+2(3,20 m s2)(50,2 m)(podstawiając znane wartości)
vx=15,0 m/s(obliczasz i gotowe)

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.